Pré-calcul Exemples

$y = 256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$

Étape 1

Définissez $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ égal à $0$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 81, \pm 3, \pm 27, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 256, \pm 2, \pm 128, \pm 4, \pm 64, \pm 8, \pm 32, \pm 16$

Étape 2.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.00390625, \pm 0.5, \pm 0.0078125, \pm 0.25, \pm 0.015625, \pm 0.125, \pm 0.03125, \pm 0.0625, \pm 81, \pm 0.31640625, \pm 40.5, \pm 0.6328125, \pm 20.25, \pm 1.265625, \pm 10.125, \pm 2.53125, \pm 5.0625, \pm 3, \pm 0.01171875, \pm 1.5, \pm 0.0234375, \pm 0.75, \pm 0.046875, \pm 0.375, \pm 0.09375, \pm 0.1875, \pm 27, \pm 0.10546875, \pm 13.5, \pm 0.2109375, \pm 6.75, \pm 0.421875, \pm 3.375, \pm 0.84375, \pm 1.6875, \pm 9, \pm 0.03515625, \pm 4.5, \pm 0.0703125, \pm 2.25, \pm 0.140625, \pm 1.125, \pm 0.28125, \pm 0.5625$

Étape 2.1.1.3

Remplacez $- 0.75$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.75$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez $- 0.75$ dans le polynôme.

$256 {(- 0.75)}^{4} + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Étape 2.1.1.3.2

Élevez $- 0.75$ à la puissance $4$ .

$256 \cdot 0.31640625 + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $256$ par $0.31640625$ .

$81 + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Étape 2.1.1.3.4

Élevez $- 0.75$ à la puissance $3$ .

$81 + 768 \cdot - 0.421875 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Étape 2.1.1.3.5

Multipliez $768$ par $- 0.421875$ .

$81 - 324 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Étape 2.1.1.3.6

Soustrayez $324$ de $81$ .

$- 243 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Étape 2.1.1.3.7

Élevez $- 0.75$ à la puissance $2$ .

$- 243 + 864 \cdot 0.5625 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Étape 2.1.1.3.8

Multipliez $864$ par $0.5625$ .

$- 243 + 486 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Étape 2.1.1.3.9

Additionnez $- 243$ et $486$ .

$243 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Étape 2.1.1.3.10

Multipliez $432$ par $- 0.75$ .

$243 - 324 + 81$

Étape 2.1.1.3.11

Soustrayez $324$ de $243$ .

$- 81 + 81$

Étape 2.1.1.3.12

Additionnez $- 81$ et $81$ .

$0$

Étape 2.1.1.4

Comme $- 0.75$ est une racine connue, divisez le polynôme par $4 x + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81}{4 x + 3}$

Étape 2.1.1.5

Divisez $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ par $4 x + 3$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

Étape 2.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $256 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

Étape 2.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $256 x^{4} + 192 x^{3}$

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $576 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $576 x^{3} + 432 x^{2}$

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

Étape 2.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $432 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

Étape 2.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

Étape 2.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $432 x^{2} + 324 x$

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

Étape 2.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

Étape 2.1.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

Étape 2.1.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $108 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

Étape 2.1.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

Étape 2.1.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $108 x + 81$

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

Étape 2.1.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

$0$

Étape 2.1.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$64 x^{3} + 144 x^{2} + 108 x + 27$

Étape 2.1.1.6

Écrivez $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ comme un ensemble de facteurs.

$(4 x + 3) (64 x^{3} + 144 x^{2} + 108 x + 27) = 0$

Étape 2.1.2

Regroupez les termes.

$(4 x + 3) (64 x^{3} + 27 + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $64 x^{3}$ comme ${(4 x)}^{3}$ .

$(4 x + 3) ({(4 x)}^{3} + 27 + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$(4 x + 3) ({(4 x)}^{3} + 3^{3} + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Étape 2.1.5

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 4 x$ et $b = 3$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Étape 2.1.6

Simplifiez

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Étape 2.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Étape 2.1.6.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Étape 2.1.6.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Étape 2.1.6.4

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Étape 2.1.6.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $36 x$ à partir de $144 x^{2} + 108 x$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $36 x$ à partir de $144 x^{2}$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x) + 108 x) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $36 x$ à partir de $108 x$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x) + 36 x (3)) = 0$

Étape 2.1.7.3

Factorisez $36 x$ à partir de $36 x (4 x) + 36 x (3)$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x + 3)) = 0$

Étape 2.1.8

Factorisez $4 x + 3$ à partir de $(4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x + 3)$ .

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Étape 2.1.8.1

Factorisez $4 x + 3$ à partir de $36 x (4 x + 3)$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + (4 x + 3) (36 x)) = 0$

Étape 2.1.8.2

Factorisez $4 x + 3$ à partir de $(4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + (4 x + 3) (36 x)$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9 + 36 x)) = 0$

Étape 2.1.9

Additionnez $- 12 x$ et $36 x$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} + 24 x + 9)) = 0$

Étape 2.1.10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.10.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.10.1.1

Réécrivez $16 x^{2}$ comme ${(4 x)}^{2}$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 24 x + 9)) = 0$

Étape 2.1.10.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 24 x + 3^{2})) = 0$

Étape 2.1.10.1.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$24 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 3$

Étape 2.1.10.1.4

Réécrivez le polynôme.

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Étape 2.1.10.1.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 4 x$ et $b = 3$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2}) = 0$

Étape 2.1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.1.11

Associez les facteurs similaires.

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Étape 2.1.11.1

Élevez $4 x + 3$ à la puissance $1$ .

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.1.11.2

Élevez $4 x + 3$ à la puissance $1$ .

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.1.11.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(4 x + 3)}^{1 + 1} {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.1.11.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(4 x + 3)}^{2} {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.1.11.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(4 x + 3)}^{2 + 2} = 0$

Étape 2.1.11.6

Additionnez $2$ et $2$ .

${(4 x + 3)}^{4} = 0$

Étape 2.2

Définissez le $4 x + 3$ égal à $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 3$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 3$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{4}$

Étape 3