Pré-calcul Exemples

$125 x^{6} - 25 x^{4} - 20 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(125 x^{6} - 25 x^{4}) - 20 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$25 x^{4} (5 x^{2} - 1) - 4 (5 x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x^{2} - 1$ .

$(5 x^{2} - 1) (25 x^{4} - 4) = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $25 x^{4}$ comme ${(5 x^{2})}^{2}$ .

$(5 x^{2} - 1) ({(5 x^{2})}^{2} - 4) = 0$

Étape 1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(5 x^{2} - 1) ({(5 x^{2})}^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 1.5

Factorisez.

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Étape 1.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5 x^{2}$ et $b = 2$ .

$(5 x^{2} - 1) ((5 x^{2} + 2) (5 x^{2} - 2)) = 0$

Étape 1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(5 x^{2} - 1) (5 x^{2} + 2) (5 x^{2} - 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x^{2} - 1 = 0$

$5 x^{2} + 2 = 0$

$5 x^{2} - 2 = 0$

Étape 3

Définissez $5 x^{2} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $5 x^{2} - 1$ égal à $0$ .

$5 x^{2} - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $5 x^{2} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} = 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} = 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} = 1$ par $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{5}$

Étape 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

Étape 3.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 3.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Étape 3.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Étape 3.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 3.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 3.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 3.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 3.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 3.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 3.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 3.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 3.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 3.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 3.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 4

Définissez $5 x^{2} + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $5 x^{2} + 2$ égal à $0$ .

$5 x^{2} + 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $5 x^{2} + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} = - 2$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} = - 2$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} = - 2$ par $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{5}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{2}{5}$

Étape 4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$

Étape 4.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$ .

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Étape 4.2.4.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{5}}$

Étape 4.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{5}}$

Étape 4.2.4.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Étape 4.2.4.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 4.2.4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.4.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 4.2.4.5.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 4.2.4.5.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 4.2.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 4.2.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 4.2.4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 4.2.4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 4.2.4.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Étape 4.2.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Étape 4.2.4.6.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 4.2.4.7

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Étape 4.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Étape 4.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Étape 4.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Étape 5

Définissez $5 x^{2} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $5 x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$5 x^{2} - 2 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $5 x^{2} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} = 2$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} = 2$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} = 2$ par $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{5}$

Étape 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.2.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 5.2.4.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 5.2.4.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 5.2.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 5.2.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 5.2.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.2.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.2.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 5.2.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Étape 5.2.4.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 x^{2} - 1) (5 x^{2} + 2) (5 x^{2} - 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 7