Pré-calcul Exemples

$\sqrt[3]{x} + 4$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{y} + 4$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{y} + 4 = x$ .

$\sqrt[3]{y} + 4 = x$

Étape 2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt[3]{y} = x - 4$

Étape 2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y}$ comme $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Étape 2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(x - 4)}^{3}$

Étape 2.4.2.1.2

Simplifiez

$y = {(x - 4)}^{3}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(x - 4)}^{3}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Étape 2.4.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Étape 2.4.3.1.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3}$

Étape 2.4.3.1.2.3

Multipliez $16$ par $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3}$

Étape 2.4.3.1.2.4

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x} + 4$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 4.2.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.2.1.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.2.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.2.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 16 + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.2.5

Multipliez $16$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.2.6

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez ${(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2}$ comme $(\sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt[3]{x} + 4)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 ((\sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt[3]{x} + 4)) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.4

Développez $(\sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt[3]{x} + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} + 4) + 4 (\sqrt[3]{x} + 4)) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 (\sqrt[3]{x} + 4)) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.5.1.1

Multipliez $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

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Étape 4.2.3.5.1.1.1

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.5.1.1.2

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.5.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.5.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.5.1.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.5.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + 4 \cdot \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.5.1.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + 16) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.5.2

Additionnez $4 \sqrt[3]{x}$ et $4 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + 8 \sqrt[3]{x} + 16) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 (8 \sqrt[3]{x}) - 12 \cdot 16 + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.7

Simplifiez

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Étape 4.2.3.7.1

Multipliez $8$ par $- 12$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \cdot 16 + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.7.2

Multipliez $- 12$ par $16$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Étape 4.2.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 48 \cdot 4 - 64$

Étape 4.2.3.9

Multipliez $48$ par $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$

Étape 4.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$ .

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Étape 4.2.4.1.1

Soustrayez $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ de $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 0 + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$

Étape 4.2.4.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$

Étape 4.2.4.1.3

Additionnez $- 192$ et $192$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} + 0 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Étape 4.2.4.1.4

Additionnez $x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Étape 4.2.4.1.5

Soustrayez $64$ de $64$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 0 - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Étape 4.2.4.1.6

Additionnez $x + 48 \sqrt[3]{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Étape 4.2.4.2

Soustrayez $96 \sqrt[3]{x}$ de $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Étape 4.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$ .

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Étape 4.2.4.3.1

Additionnez $- 48 \sqrt[3]{x}$ et $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 0$

Étape 4.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64} + 4$

Étape 4.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64} + 4$

Étape 4.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.4.1

Faites correspondre chaque terme aux termes de la formule du théorème du binôme.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (4 x^{2}) + 3 \cdot (4^{2} x) - 1 \cdot 4^{3}} + 4$

Étape 4.3.4.2

Factorisez $x^{3} - 3 \cdot 4 x^{2} + 3 \cdot 4^{2} x - 1 \cdot 4^{3}$ en utilisant le théorème du binôme.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{{(x - 4)}^{3}} + 4$

Étape 4.3.4.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x - 4 + 4$

Étape 4.3.5

Associez les termes opposés dans $x - 4 + 4$ .

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Étape 4.3.5.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x + 0$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$