Pré-calcul Exemples

$z^{6} = i$

Étape 1

Remplacez $z^{6}$ par $u$ .

$u^{6} = i$

Étape 2

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 3

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a = 0$ et $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Étape 5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 1$

Étape 6

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{1}{0})$

Étape 7

Comme l’argument est indéfini et $b$ est positif, l’angle du point sur le plan complexe est $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{π}{2}$ et $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Étape 9

Remplacez le côté droit de l’équation par la forme trigonométrique.

$u^{6} = \cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10

Utilisez le théorème de De Moivre pour déterminer une équation pour $u$ .

$r^{6} (c o s (6 θ) + i s i n (6 θ)) = i = \cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Étape 11

Associez le module de la forme trigonométrique à $r^{6}$ pour déterminer la valeur de $r$ .

$r^{6} = 1$

Étape 12

Résolvez l’équation pour $r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[6]{1}$

Étape 12.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$r = \pm 1$

Étape 12.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$r = 1$

Étape 12.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$r = - 1$

Étape 12.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = 1, - 1$

Étape 13

Déterminez la valeur approximative de $r$ .

$r = 1$

Étape 14

Déterminer les valeurs possibles de $θ$ .

$c o s (6 θ) = c o s (2 π n)$ et $s i n (6 θ) = s i n (2 π n)$

Étape 15

Déterminer toutes les valeurs possibles de $θ$ mène à l’équation $6 θ = 2 π n$ .

$6 θ = 2 π n$

Étape 16

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 0$ .

$6 θ = 2 π (0)$

Étape 17

Résolvez l’équation pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Multipliez $2 π \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$6 θ = 0 π$

Étape 17.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$6 θ = 0$

Étape 17.2

Divisez chaque terme dans $6 θ = 0$ par $6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.1

Divisez chaque terme dans $6 θ = 0$ par $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 17.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 17.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{0}{6}$

Étape 17.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$θ = 0$

Étape 18

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{6} = i$ .

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

Étape 19

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Multipliez $\cos (0) + i \sin (0)$ par $1$ .

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

Étape 19.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

Étape 19.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

Étape 19.2.3

Multipliez $i$ par $0$ .

$u_{0} = 1 + 0$

Étape 19.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{0} = 1$

Étape 20

Remplacez $u$ par $z^{6}$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{0} = 0 + 1$

Étape 21

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 1$ .

$6 θ = 2 π (1)$

Étape 22

Résolvez l’équation pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$6 θ = 2 π$

Étape 22.2

Divisez chaque terme dans $6 θ = 2 π$ par $6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.1

Divisez chaque terme dans $6 θ = 2 π$ par $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{2 π}{6}$

Étape 22.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{2 π}{6}$

Étape 22.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{2 π}{6}$

Étape 22.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$θ = \frac{2 (π)}{6}$

Étape 22.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$θ = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Étape 22.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Étape 22.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \frac{π}{3}$

Étape 23

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{6} = i$ .

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 24

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1

Multipliez $\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})$ par $1$ .

$u_{1} = \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})$

Étape 24.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Étape 24.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 24.2.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 25

Remplacez $u$ par $z^{6}$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{1} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 26

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 2$ .

$6 θ = 2 π (2)$

Étape 27

Résolvez l’équation pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 θ = 4 π$

Étape 27.2

Divisez chaque terme dans $6 θ = 4 π$ par $6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.1

Divisez chaque terme dans $6 θ = 4 π$ par $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{4 π}{6}$

Étape 27.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{4 π}{6}$

Étape 27.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{4 π}{6}$

Étape 27.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{6}$

Étape 27.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Étape 27.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Étape 27.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Étape 28

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{6} = i$ .

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Étape 29

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1

Multipliez $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ par $1$ .

$u_{2} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 29.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 29.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 29.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Étape 29.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 29.2.5

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 30

Remplacez $u$ par $z^{6}$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 31

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 3$ .

$6 θ = 2 π (3)$

Étape 32

Résolvez l’équation pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 θ = 6 π$

Étape 32.2

Divisez chaque terme dans $6 θ = 6 π$ par $6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.2.1

Divisez chaque terme dans $6 θ = 6 π$ par $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{6 π}{6}$

Étape 32.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{6 π}{6}$

Étape 32.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{6 π}{6}$

Étape 32.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.2.3.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \frac{6 π}{6}$

Étape 32.2.3.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$θ = π$

Étape 33

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{6} = i$ .

$u_{3} = 1 (\cos (π) + i \sin (π))$

Étape 34

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 34.1

Multipliez $\cos (π) + i \sin (π)$ par $1$ .

$u_{3} = \cos (π) + i \sin (π)$

Étape 34.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 34.2.1

$u_{3} = - \cos (0) + i \sin (π)$

Étape 34.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{3} = - 1 \cdot 1 + i \sin (π)$

Étape 34.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{3} = - 1 + i \sin (π)$

Étape 34.2.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$u_{3} = - 1 + i \sin (0)$

Étape 34.2.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{3} = - 1 + i \cdot 0$

Étape 34.2.6

Multipliez $i$ par $0$ .

$u_{3} = - 1 + 0$

Étape 34.3

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$u_{3} = - 1$

Étape 35

Remplacez $u$ par $z^{6}$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{3} = 0 - 1$

Étape 36

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 4$ .

$6 θ = 2 π (4)$

Étape 37

Résolvez l’équation pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 37.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$6 θ = 8 π$

Étape 37.2

Divisez chaque terme dans $6 θ = 8 π$ par $6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 37.2.1

Divisez chaque terme dans $6 θ = 8 π$ par $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{8 π}{6}$

Étape 37.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 37.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 37.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{8 π}{6}$

Étape 37.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{8 π}{6}$

Étape 37.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 37.2.3.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 37.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 π$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{6}$

Étape 37.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 37.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{2 (3)}$

Étape 37.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \frac{2 (4 π)}{2 \cdot 3}$

Étape 37.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \frac{4 π}{3}$

Étape 38

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{6} = i$ .

$u_{4} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

Étape 39

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 39.1

Multipliez $\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ par $1$ .

$u_{4} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 39.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 39.2.1

$u_{4} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 39.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 39.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 39.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 39.2.5

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 40

Remplacez $u$ par $z^{6}$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{4} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 41

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 5$ .

$6 θ = 2 π (5)$

Étape 42

Résolvez l’équation pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 42.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$6 θ = 10 π$

Étape 42.2

Divisez chaque terme dans $6 θ = 10 π$ par $6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 42.2.1

Divisez chaque terme dans $6 θ = 10 π$ par $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{10 π}{6}$

Étape 42.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 42.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 42.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{10 π}{6}$

Étape 42.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{10 π}{6}$

Étape 42.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 42.2.3.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 42.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 π$ .

$θ = \frac{2 (5 π)}{6}$

Étape 42.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 42.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$θ = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Étape 42.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Étape 42.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Étape 43

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{6} = i$ .

$u_{5} = 1 (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

Étape 44

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 44.1

Multipliez $\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$ par $1$ .

$u_{5} = \cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 44.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 44.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$u_{5} = \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 44.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 44.2.3

$u_{5} = \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 44.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 44.2.5

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 45

Remplacez $u$ par $z^{6}$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{5} = 0 + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 46

Ce sont les solutions complexes à $u^{6} = i$ .

$z_{0} = 1$

$z_{1} = \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{3} = - 1$

$z_{4} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$