Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{2} (4 + x) (x - 9)}{(x + 2) (x - 7)} \geq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} = 0$

$4 + x = 0$

$x - 9 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 5

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 6

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 7

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - 4$

$x = 9$

$x = - 2$

$x = 7$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 4, 9, - 2, 7$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} (4 + x) (x - 9)}{(x + 2) (x - 7)}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} (4 + x) (x - 9)}{(x + 2) (x - 7)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 2) (x - 7) = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 10.2.2

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.2.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 10.2.3

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.3.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 10.2.3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 10.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 7) = 0$ vraie.

$x = - 2, 7$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 6)}^{2} (4 - 6) ((- 6) - 9)}{((- 6) + 2) ((- 6) - 7)} \geq 0$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $20.\overline{769230}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 3)}^{2} (4 - 3) ((- 3) - 9)}{((- 3) + 2) ((- 3) - 7)} \geq 0$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $- 10.8$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 1)}^{2} (4 - 1) ((- 1) - 9)}{((- 1) + 2) ((- 1) - 7)} \geq 0$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $3.75$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(4)}^{2} (4 + 4) ((4) - 9)}{((4) + 2) ((4) - 7)} \geq 0$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $35.\overline{5}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.5

Testez une valeur sur l’intervalle $7 < x < 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $7 < x < 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 12.5.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(8)}^{2} (4 + 8) ((8) - 9)}{((8) + 2) ((8) - 7)} \geq 0$

Étape 12.5.3

Le côté gauche $- 76.8$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.6

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.6.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 12.6.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(12)}^{2} (4 + 12) ((12) - 9)}{((12) + 2) ((12) - 7)} \geq 0$

Étape 12.6.3

Le côté gauche $98.74285714$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.7

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 7$ Vrai

$7 < x < 9$ Faux

$x > 9$ Vrai

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 7$ Vrai

$7 < x < 9$ Faux

$x > 9$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 4$ ou $- 2 < x \leq 0$ ou $0 \leq x < 7$ ou $x \geq 9$

Étape 14

Associez les intervalles.

$x \leq - 4 or - 2 < x < 7 or x \geq 9$

Étape 15

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 4] \cup (- 2, 7) \cup [9, \infty)$

Étape 16