Pré-calcul Exemples

${(2 c + b)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(2 c)}^{4 - k} \cdot {(b)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(2 c)}^{4 - 0} \cdot {(b)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(2 c)}^{4 - 1} \cdot {(b)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(2 c)}^{4 - 2} \cdot {(b)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(2 c)}^{4 - 3} \cdot {(b)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(2 c)}^{4 - 4} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(2 c)}^{4} \cdot {(b)}^{0} + 4 \cdot {(2 c)}^{3} \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(2 c)}^{4}$ par $1$ .

${(2 c)}^{4} \cdot {(b)}^{0} + 4 \cdot {(2 c)}^{3} \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $2 c$ .

$2^{4} c^{4} \cdot {(b)}^{0} + 4 \cdot {(2 c)}^{3} \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 c^{4} \cdot {(b)}^{0} + 4 \cdot {(2 c)}^{3} \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$16 c^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(2 c)}^{3} \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.5

Multipliez $16$ par $1$ .

$16 c^{4} + 4 \cdot {(2 c)}^{3} \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.6

Appliquez la règle de produit à $2 c$ .

$16 c^{4} + 4 \cdot (2^{3} c^{3}) \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$16 c^{4} + 4 \cdot (8 c^{3}) \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.8

Multipliez $8$ par $4$ .

$16 c^{4} + 32 c^{3} \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.9

Simplifiez

$16 c^{4} + 32 c^{3} \cdot b + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $2 c$ .

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 6 \cdot (2^{2} c^{2}) \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 6 \cdot (4 c^{2}) \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.12

Multipliez $4$ par $6$ .

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.13

Simplifiez

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 4 \cdot (2 c) \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.14

Multipliez $2$ par $4$ .

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 8 c \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.15

Multipliez ${(2 c)}^{0}$ par $1$ .

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 8 c b^{3} + {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $2 c$ .

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 8 c b^{3} + 2^{0} c^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.17

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 8 c b^{3} + 1 c^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.18

Multipliez $c^{0}$ par $1$ .

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 8 c b^{3} + c^{0} \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.19

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 8 c b^{3} + 1 \cdot {(b)}^{4}$

Étape 4.20

Multipliez ${(b)}^{4}$ par $1$ .

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 8 c b^{3} + b^{4}$