Pré-calcul Exemples

${(3 p - 2 q)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(3 p)}^{4 - k} \cdot {(- 2 q)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(3 p)}^{4 - 0} \cdot {(- 2 q)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(3 p)}^{4 - 1} \cdot {(- 2 q)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(3 p)}^{4 - 2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(3 p)}^{4 - 3} \cdot {(- 2 q)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(3 p)}^{4 - 4} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(3 p)}^{4} \cdot {(- 2 q)}^{0} + 4 \cdot {(3 p)}^{3} \cdot {(- 2 q)}^{1} + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(3 p)}^{4}$ par $1$ .

${(3 p)}^{4} \cdot {(- 2 q)}^{0} + 4 \cdot {(3 p)}^{3} \cdot {(- 2 q)}^{1} + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $3 p$ .

$3^{4} p^{4} \cdot {(- 2 q)}^{0} + 4 \cdot {(3 p)}^{3} \cdot {(- 2 q)}^{1} + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 p^{4} \cdot {(- 2 q)}^{0} + 4 \cdot {(3 p)}^{3} \cdot {(- 2 q)}^{1} + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $- 2 q$ .

$81 p^{4} \cdot ({(- 2)}^{0} q^{0}) + 4 \cdot {(3 p)}^{3} \cdot {(- 2 q)}^{1} + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81 \cdot {(- 2)}^{0} p^{4} q^{0} + 4 \cdot {(3 p)}^{3} \cdot {(- 2 q)}^{1} + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 \cdot 1 p^{4} q^{0} + 4 \cdot {(3 p)}^{3} \cdot {(- 2 q)}^{1} + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.7

Multipliez $81$ par $1$ .

$81 p^{4} q^{0} + 4 \cdot {(3 p)}^{3} \cdot {(- 2 q)}^{1} + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 p^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(3 p)}^{3} \cdot {(- 2 q)}^{1} + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.9

Multipliez $81$ par $1$ .

$81 p^{4} + 4 \cdot {(3 p)}^{3} \cdot {(- 2 q)}^{1} + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $3 p$ .

$81 p^{4} + 4 \cdot (3^{3} p^{3}) \cdot {(- 2 q)}^{1} + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.11

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$81 p^{4} + 4 \cdot (27 p^{3}) \cdot {(- 2 q)}^{1} + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.12

Multipliez $27$ par $4$ .

$81 p^{4} + 108 p^{3} \cdot {(- 2 q)}^{1} + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.13

Simplifiez

$81 p^{4} + 108 p^{3} \cdot (- 2 q) + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81 p^{4} + 108 \cdot - 2 p^{3} q + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.15

Multipliez $108$ par $- 2$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 6 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $3 p$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 6 \cdot (3^{2} p^{2}) \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.17

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 6 \cdot (9 p^{2}) \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.18

Multipliez $9$ par $6$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 54 p^{2} \cdot {(- 2 q)}^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.19

Appliquez la règle de produit à $- 2 q$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 54 p^{2} \cdot ({(- 2)}^{2} q^{2}) + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.20

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 54 \cdot {(- 2)}^{2} p^{2} q^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.21

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 54 \cdot 4 p^{2} q^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.22

Multipliez $54$ par $4$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 216 p^{2} q^{2} + 4 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.23

Simplifiez

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 216 p^{2} q^{2} + 4 \cdot (3 p) \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.24

Multipliez $3$ par $4$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 216 p^{2} q^{2} + 12 p \cdot {(- 2 q)}^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.25

Appliquez la règle de produit à $- 2 q$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 216 p^{2} q^{2} + 12 p \cdot ({(- 2)}^{3} q^{3}) + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.26

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 216 p^{2} q^{2} + 12 \cdot {(- 2)}^{3} p q^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.27

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 216 p^{2} q^{2} + 12 \cdot - 8 p q^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.28

Multipliez $12$ par $- 8$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 216 p^{2} q^{2} - 96 p q^{3} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.29

Multipliez ${(3 p)}^{0}$ par $1$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 216 p^{2} q^{2} - 96 p q^{3} + {(3 p)}^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.30

Appliquez la règle de produit à $3 p$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 216 p^{2} q^{2} - 96 p q^{3} + 3^{0} p^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.31

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 216 p^{2} q^{2} - 96 p q^{3} + 1 p^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.32

Multipliez $p^{0}$ par $1$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 216 p^{2} q^{2} - 96 p q^{3} + p^{0} \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.33

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 216 p^{2} q^{2} - 96 p q^{3} + 1 \cdot {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.34

Multipliez ${(- 2 q)}^{4}$ par $1$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 216 p^{2} q^{2} - 96 p q^{3} + {(- 2 q)}^{4}$

Étape 4.35

Appliquez la règle de produit à $- 2 q$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 216 p^{2} q^{2} - 96 p q^{3} + {(- 2)}^{4} q^{4}$

Étape 4.36

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$81 p^{4} - 216 p^{3} q + 216 p^{2} q^{2} - 96 p q^{3} + 16 q^{4}$