Pré-calcul Exemples

${(x + 6 y)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(x)}^{4 - k} \cdot {(6 y)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} {(x)}^{4 - 0} \cdot {(6 y)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} {(x)}^{4 - 1} \cdot {(6 y)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} {(x)}^{4 - 2} \cdot {(6 y)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} {(x)}^{4 - 3} \cdot {(6 y)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} {(x)}^{4 - 4} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(x)}^{4} \cdot {(6 y)}^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(x)}^{4}$ par $1$ .

${(x)}^{4} \cdot {(6 y)}^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $6 y$ .

$x^{4} \cdot (6^{0} y^{0}) + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6^{0} x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.5

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.7

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.8

Simplifiez

$x^{4} + 4 x^{3} \cdot (6 y) + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} + 4 \cdot 6 x^{3} y + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.10

Multipliez $4$ par $6$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $6 y$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 6 x^{2} \cdot (6^{2} y^{2}) + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} + 24 x^{3} y + 6 \cdot 6^{2} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.13

Multipliez $6$ par $6^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.13.1

Multipliez $6$ par $6^{2}$ .

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Étape 4.13.1.1

Élevez $6$ à la puissance $1$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 6^{1} \cdot 6^{2} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.13.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + 24 x^{3} y + 6^{1 + 2} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.13.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 6^{3} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.14

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.15

Simplifiez

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 4 \cdot x \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $6 y$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 4 x \cdot (6^{3} y^{3}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.17

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 4 \cdot 6^{3} x y^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.18

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 4 \cdot 216 x y^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.19

Multipliez $4$ par $216$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 864 x y^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.20

Multipliez ${(x)}^{0}$ par $1$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 864 x y^{3} + {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.21

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 864 x y^{3} + 1 \cdot {(6 y)}^{4}$

Étape 4.22

Multipliez ${(6 y)}^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 864 x y^{3} + {(6 y)}^{4}$

Étape 4.23

Appliquez la règle de produit à $6 y$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 864 x y^{3} + 6^{4} y^{4}$

Étape 4.24

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 864 x y^{3} + 1296 y^{4}$