Pré-calcul Exemples

$\log_{c} (\sqrt[4]{\frac{m^{12} n^{8}}{c^{9} a^{5}}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{\frac{m^{12} n^{8}}{c^{9} a^{5}}}$ comme ${(\frac{m^{12} n^{8}}{c^{9} a^{5}})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\log_{c} ({(\frac{m^{12} n^{8}}{c^{9} a^{5}})}^{\frac{1}{4}})$

Étape 2

Développez $\log_{c} ({(\frac{m^{12} n^{8}}{c^{9} a^{5}})}^{\frac{1}{4}})$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} \log_{c} (\frac{m^{12} n^{8}}{c^{9} a^{5}})$

Étape 3

Réécrivez $\log_{c} (\frac{m^{12} n^{8}}{c^{9} a^{5}})$ comme $\log_{c} (m^{12} n^{8}) - \log_{c} (c^{9} a^{5})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{c} (m^{12} n^{8}) - \log_{c} (c^{9} a^{5}))$

Étape 4

Réécrivez $\log_{c} (m^{12} n^{8})$ comme $\log_{c} (m^{12}) + \log_{c} (n^{8})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{c} (m^{12}) + \log_{c} (n^{8}) - \log_{c} (c^{9} a^{5}))$

Étape 5

Développez $\log_{c} (m^{12})$ en déplaçant $12$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + \log_{c} (n^{8}) - \log_{c} (c^{9} a^{5}))$

Étape 6

Développez $\log_{c} (n^{8})$ en déplaçant $8$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - \log_{c} (c^{9} a^{5}))$

Étape 7

Réécrivez $\log_{c} (c^{9} a^{5})$ comme $\log_{c} (c^{9}) + \log_{c} (a^{5})$ .

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - (\log_{c} (c^{9}) + \log_{c} (a^{5})))$

Étape 8

Développez $\log_{c} (c^{9})$ en déplaçant $9$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - (9 \log_{c} (c) + \log_{c} (a^{5})))$

Étape 9

Développez $\log_{c} (a^{5})$ en déplaçant $5$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - (9 \log_{c} (c) + 5 \log_{c} (a)))$

Étape 10

La base logarithmique $c$ de $c$ est $1$ .

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - (9 \cdot 1 + 5 \log_{c} (a)))$

Étape 11

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - (9 + 5 \log_{c} (a)))$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - 1 \cdot 9 - (5 \log_{c} (a)))$

Étape 12.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - 9 - (5 \log_{c} (a)))$

Étape 12.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m) + 8 \log_{c} (n) - 9 - 5 \log_{c} (a))$

Étape 13

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (12 \log_{c} (m)) + \frac{1}{4} (8 \log_{c} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 9 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 14.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12 \log_{c} (m)$ .

$\frac{1}{4} (4 (3 \log_{c} (m))) + \frac{1}{4} (8 \log_{c} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 9 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Étape 14.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (4 (3 \log_{c} (m))) + \frac{1}{4} (8 \log_{c} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 9 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Étape 14.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 \log_{c} (m) + \frac{1}{4} (8 \log_{c} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 9 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 14.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8 \log_{c} (n)$ .

$3 \log_{c} (m) + \frac{1}{4} (4 (2 \log_{c} (n))) + \frac{1}{4} \cdot - 9 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Étape 14.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \log_{c} (m) + \frac{1}{4} (4 (2 \log_{c} (n))) + \frac{1}{4} \cdot - 9 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Étape 14.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \log_{c} (m) + 2 \log_{c} (n) + \frac{1}{4} \cdot - 9 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Étape 14.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 9$ .

$3 \log_{c} (m) + 2 \log_{c} (n) + \frac{- 9}{4} + \frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$

Étape 14.4

Multipliez $\frac{1}{4} (- 5 \log_{c} (a))$ .

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Étape 14.4.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{4}$ .

$3 \log_{c} (m) + 2 \log_{c} (n) + \frac{- 9}{4} + \frac{- 5}{4} \log_{c} (a)$

Étape 14.4.2

Associez $\frac{- 5}{4}$ et $\log_{c} (a)$ .

$3 \log_{c} (m) + 2 \log_{c} (n) + \frac{- 9}{4} + \frac{- 5 \log_{c} (a)}{4}$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \log_{c} (m) + 2 \log_{c} (n) - \frac{9}{4} + \frac{- 5 \log_{c} (a)}{4}$

Étape 15.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \log_{c} (m) + 2 \log_{c} (n) - \frac{9}{4} - \frac{5 \log_{c} (a)}{4}$