Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{\tan (θ) + \cot (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\csc (θ)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1}{\tan (θ) + \cot (θ)}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Écrivez $\tan (θ)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cot (θ)}$

Étape 2.2

Écrivez $\cot (θ)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.1

Pour écrire $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Étape 3.1.2

Pour écrire $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 3.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (θ) \sin (θ)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ par $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ par $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{1}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)}}$

$\frac{1}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Étape 3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{\sin (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Étape 3.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Étape 3.1.5.1.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{1} \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Étape 3.1.5.1.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1} + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Étape 3.1.5.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Étape 3.1.5.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Étape 3.1.5.2.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{1} \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Étape 3.1.5.2.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{1} {\cos (θ)}^{1}}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Étape 3.1.5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Étape 3.1.5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Étape 3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{\cos (θ) \sin (θ)}{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{\cos (θ) \sin (θ)}{{\sin (θ)}^{2} + {\cos (θ)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ)}{\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ)}{1}$

Étape 5

Divisez $\cos (θ) \sin (θ)$ par $1$ .

$\cos (θ) \sin (θ)$

Étape 6

Réécrivez $\cos (θ) \sin (θ)$ comme $\frac{\cos (θ)}{\csc (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{\csc (θ)}$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{\tan (θ) + \cot (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\csc (θ)}$ est une identité