Pré-calcul Exemples

$1 + \cot^{2} (- θ) = \csc^{2} (θ)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$1 + \cot^{2} (- θ)$

Étape 2

Comme $\cot (- θ)$ est une fonction impaire, réécrivez $\cot (- θ)$ comme $- \cot (θ)$ .

$1 + {(- \cot (θ))}^{2}$

Étape 3

Convertissez en sinus et cosinus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Écrivez $\cot (θ)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$1 + {(- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$1 + {(- 1)}^{2} \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 1 \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Multipliez $\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$ par $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (θ)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Étape 5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{\sin (θ)}^{2} + (1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ comme $\csc^{2} (θ)$ .

$\csc^{2} (θ)$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$1 + \cot^{2} (- θ) = \csc^{2} (θ)$ est une identité