Pré-calcul Exemples

$16 x^{2} + 80 x + 16 y^{2} - 112 y + 247 = 0$

Étape 1

Soustrayez $247$ des deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} + 80 x + 16 y^{2} - 112 y = - 247$

Étape 2

Divisez les deux côtés de l’équation par $16$ .

$x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$

Étape 3

Complétez le carré pour $x^{2} + 5 x$ .

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 5$

$c = 0$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{5}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{5}{2}$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $\frac{25}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Étape 4

Remplacez $x^{2} + 5 x$ par ${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ dans l’équation $x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$

Étape 5

Déplacez $- \frac{25}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{25}{4}$ des deux côtés.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4}$

Étape 6

Complétez le carré pour $y^{2} - 7 y$ .

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Étape 6.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 7$

$c = 0$

Étape 6.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 7}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{- 7}{2}$

Étape 6.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{7}{2}$

Étape 6.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 7)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{49}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{49}{4}$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $\frac{49}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{49}{4}$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$

Étape 7

Remplacez $y^{2} - 7 y$ par ${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ dans l’équation $x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4} = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4}$

Étape 8

Déplacez $- \frac{49}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{49}{4}$ des deux côtés.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4} + \frac{49}{4}$

Étape 9

Simplifiez $- \frac{247}{16} + \frac{25}{4} + \frac{49}{4}$ .

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Étape 9.1

Associez les fractions.

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Étape 9.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247}{16} + \frac{25 + 49}{4}$

Étape 9.1.2

Additionnez $25$ et $49$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247}{16} + \frac{74}{4}$

Étape 9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{74}{4}$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun à $74$ et $4$ .

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $74$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 (37)}{4}$

Étape 9.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}$

Étape 9.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}$

Étape 9.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37}{2}$

Étape 9.3

Pour écrire $\frac{37}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37}{2} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 9.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.4.1

Multipliez $\frac{37}{2}$ par $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37 \cdot 8}{2 \cdot 8}$

Étape 9.4.2

Multipliez $2$ par $8$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37 \cdot 8}{16}$

Étape 9.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247 + 37 \cdot 8}{16}$

Étape 9.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.6.1

Multipliez $37$ par $8$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247 + 296}{16}$

Étape 9.6.2

Additionnez $- 247$ et $296$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{49}{16}$

Étape 10

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 11

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = \frac{7}{4}$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{7}{2}$

Étape 12

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(- \frac{5}{2}, \frac{7}{2})$

Étape 13

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(- \frac{5}{2}, \frac{7}{2})$

Rayon : $\frac{7}{4}$

Étape 14