Pré-calcul Exemples

$y^{2} - 4 x - 8 y - 12 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x - 8 y - 12 = - y^{2}$

Étape 1.1.1.2

Ajoutez $8 y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 x - 12 = - y^{2} + 8 y$

Étape 1.1.1.3

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $- 4$ .

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (2 y)}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 y}{- 1}$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 1 \cdot (2 y) + \frac{12}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 \cdot (2 y)$ comme $- (2 y)$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - (2 y) + \frac{12}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 2 y + \frac{12}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.5

Divisez $12$ par $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 2 y - 3$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{y^{2}}{4} - 2 y - 3$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = - 2$

$c = - 3$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{4}}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - 1 \cdot 4$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$d = - 4$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$e = - 3 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$e = - 3 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $4$ par $4$ .

$e = - 3 - \frac{4}{1}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = - 3 - 1 \cdot 4$

Étape 1.2.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - 3 - 4$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $4$ de $- 3$ .

$e = - 7$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 7$ .

$\frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 7$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y - 4)}^{2} - 7$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 7$

$k = 4$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 7, 4)$

Étape 4