Pré-calcul Exemples

${(3 + 3 i)}^{5}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$3^{5} + 5 \cdot 3^{4} (3 i) + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$243 + 5 \cdot 3^{4} (3 i) + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.2

Multipliez $3^{4}$ par $3$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.1

Déplacez $3$ .

$243 + 5 \cdot (3 \cdot 3^{4}) i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $3$ par $3^{4}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$243 + 5 \cdot (3^{1} \cdot 3^{4}) i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$243 + 5 \cdot 3^{1 + 4} i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.2.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$243 + 5 \cdot 3^{5} i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$243 + 5 \cdot 243 i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.4

Multipliez $5$ par $243$ .

$243 + 1215 i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$243 + 1215 i + 10 \cdot 27 {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.6

Multipliez $10$ par $27$ .

$243 + 1215 i + 270 {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.7

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$243 + 1215 i + 270 (3^{2} i^{2}) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$243 + 1215 i + 270 (9 i^{2}) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.9

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$243 + 1215 i + 270 (9 \cdot - 1) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.10

Multipliez $270 (9 \cdot - 1)$ .

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Étape 2.1.10.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$243 + 1215 i + 270 \cdot - 9 + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.10.2

Multipliez $270$ par $- 9$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 10 \cdot 9 {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.12

Multipliez $10$ par $9$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.13

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (3^{3} i^{3}) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.14

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 i^{3}) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.15

Factorisez $i^{2}$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.16

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.17

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (- i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.18

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (- 27 i) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.19

Multipliez $- 27$ par $90$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.20

Multipliez $5$ par $3$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.21

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (3^{4} i^{4}) + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.22

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 i^{4}) + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.23

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.23.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 {(i^{2})}^{2}) + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.23.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 {(- 1)}^{2}) + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.23.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 \cdot 1) + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.24

Multipliez $15 (81 \cdot 1)$ .

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Étape 2.1.24.1

Multipliez $81$ par $1$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 \cdot 81 + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.24.2

Multipliez $15$ par $81$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + {(3 i)}^{5}$

Étape 2.1.25

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 3^{5} i^{5}$

Étape 2.1.26

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 i^{5}$

Étape 2.1.27

Factorisez $i^{4}$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 (i^{4} i)$

Étape 2.1.28

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.28.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Étape 2.1.28.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Étape 2.1.28.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 (1 i)$

Étape 2.1.29

Multipliez $i$ par $1$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 i$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $2430$ de $243$ .

$- 2187 + 1215 i - 2430 i + 1215 + 243 i$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 2187$ et $1215$ .

$- 972 + 1215 i - 2430 i + 243 i$

Étape 2.2.3

Soustrayez $2430 i$ de $1215 i$ .

$- 972 - 1215 i + 243 i$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 1215 i$ et $243 i$ .

$- 972 - 972 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 972$ et $b = - 972$ .

$| z | = \sqrt{{(- 972)}^{2} + {(- 972)}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Élevez $- 972$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{944784 + {(- 972)}^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $- 972$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{944784 + 944784}$

Étape 6.3

Additionnez $944784$ et $944784$ .

$| z | = \sqrt{1889568}$

Étape 6.4

Réécrivez $1889568$ comme $972^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $944784$ à partir de $1889568$ .

$| z | = \sqrt{944784 (2)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez $944784$ comme $972^{2}$ .

$| z | = \sqrt{972^{2} \cdot 2}$

Étape 6.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 972 \sqrt{2}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 972}{- 972})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{- 972}{- 972}$ produit un angle dans le troisième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{5 π}{4}$ et $| z | = 972 \sqrt{2}$ .

$972 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$