Pré-calcul Exemples

$x^{2} + y^{2} - 9 x - 9 y = 9$

Étape 1

Complétez le carré pour $x^{2} - 9 x$ .

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Étape 1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 9$

$c = 0$

Étape 1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 9}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{- 9}{2}$

Étape 1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{9}{2}$

Étape 1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 9)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{81}{4}$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $\frac{81}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{81}{4}$

Étape 1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$

Étape 2

Remplacez $x^{2} - 9 x$ par ${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 9 x - 9 y = 9$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4} + y^{2} - 9 y = 9$

Étape 3

Déplacez $- \frac{81}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{81}{4}$ des deux côtés.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + y^{2} - 9 y = 9 + \frac{81}{4}$

Étape 4

Complétez le carré pour $y^{2} - 9 y$ .

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Étape 4.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 9$

$c = 0$

Étape 4.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 4.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 9}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{- 9}{2}$

Étape 4.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{9}{2}$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 9)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot 1}$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{81}{4}$

Étape 4.4.2.2

Soustrayez $\frac{81}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{81}{4}$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ .

${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$

Étape 5

Remplacez $y^{2} - 9 y$ par ${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 9 x - 9 y = 9$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4} = 9 + \frac{81}{4}$

Étape 6

Déplacez $- \frac{81}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{81}{4}$ des deux côtés.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 + \frac{81}{4} + \frac{81}{4}$

Étape 7

Simplifiez $9 + \frac{81}{4} + \frac{81}{4}$ .

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 + \frac{81 + 81}{4}$

Étape 7.2

Additionnez $81$ et $81$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 + \frac{162}{4}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $162$ et $4$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $162$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 + \frac{2 (81)}{4}$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 + \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 + \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 + \frac{81}{2}$

Étape 7.4

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{81}{2}$

Étape 7.5

Associez $9$ et $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{81}{2}$

Étape 7.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{9 \cdot 2 + 81}{2}$

Étape 7.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.7.1

Multipliez $9$ par $2$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{18 + 81}{2}$

Étape 7.7.2

Additionnez $18$ et $81$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{99}{2}$