Pré-calcul Exemples

$9 x^{2} + 9 y^{2} - 6 x + 24 y = 19$

Étape 1

Divisez les deux côtés de l’équation par $9$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} - \frac{2 x}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{3}$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.1.6

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

Étape 2.4.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 2.4.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 2.4.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{1}{9}$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{9}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{9}$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

Étape 3

Remplacez $x^{2} - \frac{2 x}{3}$ par ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} + y^{2} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$

Étape 4

Déplacez $- \frac{1}{9}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{9}$ des deux côtés.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + y^{2} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9}$

Étape 5

Complétez le carré pour $y^{2} + \frac{8 y}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{8}{3}$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{8}{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

Étape 5.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{3}$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{8}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{8^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{64}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{64}{9}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{64}{9}}{4}$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (\frac{64}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 5.4.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$e = 0 - (\frac{4 (16)}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 5.4.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 16}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 5.4.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{16}{9}$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $\frac{16}{9}$ de $0$ .

$e = - \frac{16}{9}$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$ .

${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$

Étape 6

Remplacez $y^{2} + \frac{8 y}{3}$ par ${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9}$

Étape 7

Déplacez $- \frac{16}{9}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{16}{9}$ des deux côtés.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9} + \frac{16}{9}$

Étape 8

Simplifiez $\frac{19}{9} + \frac{1}{9} + \frac{16}{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{19 + 1 + 16}{9}$

Étape 8.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Additionnez $19$ et $1$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{20 + 16}{9}$

Étape 8.2.2

Additionnez $20$ et $16$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{36}{9}$

Étape 8.2.3

Divisez $36$ par $9$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = 4$

Étape 9

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 10

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = 2$

$h = \frac{1}{3}$

$k = - \frac{4}{3}$

Étape 11

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(\frac{1}{3}, - \frac{4}{3})$

Étape 12

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(\frac{1}{3}, - \frac{4}{3})$

Rayon : $2$

Étape 13