Pré-calcul Exemples

$- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y + 100 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $100$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- 4 x^{2} + 40 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 4$

$b = 40$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $40$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (- 4)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{20}{- 4}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $20$ et $- 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$d = \frac{4 (5)}{- 4}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$d = - 5$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot - 4}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $40$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot - 4}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1600}{- 16}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $1600$ par $- 16$ .

$e = 0 - - 100$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $100$ .

$e = 100$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$

Étape 1.3

Remplacez $- 4 x^{2} + 40 x$ par $- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$ dans l’équation $- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 100 + 25 y^{2} - 100 y = - 100$

Étape 1.4

Déplacez $100$ du côté droit de l’équation en ajoutant $100$ des deux côtés.

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 y^{2} - 100 y = - 100 - 100$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $25 y^{2} - 100 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 100$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 50}{25}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 50$ et $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 100$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $10000$ par $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$e = 0 - 100$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $100$ de $0$ .

$e = - 100$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(y - 2)}^{2} - 100$

Étape 1.6

Remplacez $25 y^{2} - 100 y$ par $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ dans l’équation $- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} - 100 = - 100 - 100$

Étape 1.7

Déplacez $- 100$ du côté droit de l’équation en ajoutant $100$ des deux côtés.

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 100 - 100 + 100$

Étape 1.8

Simplifiez $- 100 - 100 + 100$ .

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Étape 1.8.1

Soustrayez $100$ de $- 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 200 + 100$

Étape 1.8.2

Additionnez $- 200$ et $100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 100$

Étape 1.9

Inversez le signe de chaque terme de l’équation afin que le terme du côté droit soit positif.

$4 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y - 2)}^{2} = 100$

Étape 1.10

Divisez chaque terme par $100$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{4 {(x - 5)}^{2}}{100} - \frac{25 {(y - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Étape 1.11

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 2$

$h = 5$

Étape 4

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Étape 5

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 5.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Étape 5.2

Simplifiez $\frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$ .

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = \frac{2}{5} \cdot (x - 5) + 2$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Étape 5.2.1.3

Associez $\frac{2}{5}$ et $x$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Étape 5.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot (5 (- 1)) + 2$

Étape 5.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot (5 \cdot - 1) + 2$

Étape 5.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2 x}{5} + 2 \cdot - 1 + 2$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{5} - 2 + 2$

Étape 5.2.2

Associez les termes opposés dans $\frac{2 x}{5} - 2 + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$y = \frac{2 x}{5} + 0$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $\frac{2 x}{5}$ et $0$ .

$y = \frac{2 x}{5}$

Étape 6

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Étape 6.2

Simplifiez $- \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = - \frac{2}{5} \cdot (x - 5) + 2$

Étape 6.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Étape 6.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{2}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Étape 6.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{5}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 5 + 2$

Étape 6.2.1.4.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 1)) + 2$

Étape 6.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 1) + 2$

Étape 6.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 1 + 2$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + 2 + 2$

Étape 6.2.1.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 2 + 2$

Étape 6.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Étape 7

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{2 x}{5}, y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Étape 8

Les asymptotes sont $y = \frac{2 x}{5}$ et $y = - \frac{2 x}{5} + 4$ .

Asymptotes : $y = \frac{2 x}{5}, y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Étape 9