Pré-calcul Exemples

$x^{2} + 9 y^{2} + 2 x + 18 y + 1 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 9 y^{2} + 2 x + 18 y = - 1$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $x^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = 0 - 1$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Étape 1.3

Remplacez $x^{2} + 2 x$ par ${(x + 1)}^{2} - 1$ dans l’équation $x^{2} + 9 y^{2} + 2 x + 18 y = - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + 9 y^{2} + 18 y = - 1$

Étape 1.4

Déplacez $- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant $1$ des deux côtés.

${(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} + 18 y = - 1 + 1$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $9 y^{2} + 18 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = 18$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{18}{2 \cdot 9}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $18$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (9)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{9}{9}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9}{9}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $18$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $324$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 0 - 9$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(y + 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(y + 1)}^{2} - 9$

Étape 1.6

Remplacez $9 y^{2} + 18 y$ par $9 {(y + 1)}^{2} - 9$ dans l’équation $x^{2} + 9 y^{2} + 2 x + 18 y = - 1$ .

${(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} - 9 = - 1 + 1$

Étape 1.7

Déplacez $- 9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

${(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} = - 1 + 1 + 9$

Étape 1.8

Simplifiez $- 1 + 1 + 9$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

${(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} = 0 + 9$

Étape 1.8.2

Additionnez $0$ et $9$ .

${(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} = 9$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $9$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{9 {(y + 1)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{9} + {(y + 1)}^{2} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 3$

$b = 1$

$k = - 1$

$h = - 1$

Étape 4

Déterminez les sommets.

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Étape 4.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(- 1 + 3, - 1)$

Étape 4.3

Simplifiez

$(2, - 1)$

Étape 4.4

Le deuxième sommet d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(- 1 - (3), - 1)$

Étape 4.6

Simplifiez

$(- 4, - 1)$

Étape 4.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 1)$

Étape 5