Pré-calcul Exemples

${(a - 2 b^{2})}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(a)}^{4 - k} \cdot {(- 2 b^{2})}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} {(a)}^{4 - 0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} {(a)}^{4 - 1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} {(a)}^{4 - 2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} {(a)}^{4 - 3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} {(a)}^{4 - 4} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(a)}^{4} \cdot {(- 2 b^{2})}^{0} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(a)}^{4}$ par $1$ .

${(a)}^{4} \cdot {(- 2 b^{2})}^{0} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $- 2 b^{2}$ .

$a^{4} \cdot ({(- 2)}^{0} {(b^{2})}^{0}) + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- 2)}^{0} a^{4} {(b^{2})}^{0} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 a^{4} {(b^{2})}^{0} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.5

Multipliez $a^{4}$ par $1$ .

$a^{4} {(b^{2})}^{0} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.6

Multipliez les exposants dans ${(b^{2})}^{0}$ .

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Étape 4.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{4} b^{2 \cdot 0} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$a^{4} b^{0} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.8

Multipliez $a^{4}$ par $1$ .

$a^{4} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.9

Simplifiez

$a^{4} + 4 a^{3} \cdot (- 2 b^{2}) + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{4} + 4 \cdot - 2 a^{3} b^{2} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.11

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.12

Appliquez la règle de produit à $- 2 b^{2}$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 6 a^{2} \cdot ({(- 2)}^{2} {(b^{2})}^{2}) + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 6 \cdot {(- 2)}^{2} a^{2} {(b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.14

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 6 \cdot 4 a^{2} {(b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.15

Multipliez $6$ par $4$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} {(b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.16

Multipliez les exposants dans ${(b^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.16.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{2 \cdot 2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.16.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.17

Simplifiez

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} + 4 \cdot a \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.18

Appliquez la règle de produit à $- 2 b^{2}$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} + 4 a \cdot ({(- 2)}^{3} {(b^{2})}^{3}) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.19

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} + 4 \cdot {(- 2)}^{3} a {(b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.20

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} + 4 \cdot - 8 a {(b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.21

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a {(b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.22

Multipliez les exposants dans ${(b^{2})}^{3}$ .

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Étape 4.22.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{2 \cdot 3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.22.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.23

Multipliez ${(a)}^{0}$ par $1$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.24

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + 1 \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.25

Multipliez ${(- 2 b^{2})}^{4}$ par $1$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + {(- 2 b^{2})}^{4}$

Étape 4.26

Appliquez la règle de produit à $- 2 b^{2}$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + {(- 2)}^{4} {(b^{2})}^{4}$

Étape 4.27

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + 16 {(b^{2})}^{4}$

Étape 4.28

Multipliez les exposants dans ${(b^{2})}^{4}$ .

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Étape 4.28.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + 16 b^{2 \cdot 4}$

Étape 4.28.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + 16 b^{8}$