Pré-calcul Exemples

$x^{2} + 4 x + 6 y - 2 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x + 6 y - 2 = - x^{2}$

Étape 1.1.1.2

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$6 y - 2 = - x^{2} - 4 x$

Étape 1.1.1.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$6 y = - x^{2} - 4 x + 2$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $6 y = - x^{2} - 4 x + 2$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $6 y = - x^{2} - 4 x + 2$ par $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{- x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y}{6} = \frac{- x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $6$ .

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{6} + \frac{2}{6}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{2 (3)} + \frac{2}{6}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 3} + \frac{2}{6}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{2}{6}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2}{6}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 1.1.2.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2 (1)}{6}$

Étape 1.1.2.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Étape 1.1.2.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Étape 1.1.2.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (\frac{1}{6})}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{6})}$

Étape 1.2.3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{6})}$

Étape 1.2.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{\frac{1}{6}}$ .

$d = \frac{1}{3 (\frac{1}{6})}$

Étape 1.2.3.2.5

Associez $3$ et $\frac{1}{6}$ .

$d = \frac{1}{\frac{3}{6}}$

Étape 1.2.3.2.6

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 1.2.3.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$d = \frac{1}{\frac{3 (1)}{6}}$

Étape 1.2.3.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.2.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 1 \cdot 2$

Étape 1.2.3.2.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $1$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- 4 (\frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{6}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 4}{6}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $6$ .

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Étape 1.2.4.2.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 2}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- \frac{2}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4}{9} (- \frac{3}{2}))$

Étape 1.2.4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Étape 1.2.4.2.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Étape 1.2.4.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Étape 1.2.4.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{9} \cdot - 3)$

Étape 1.2.4.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.4.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3 (3)} \cdot - 3)$

Étape 1.2.4.2.1.6.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Étape 1.2.4.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Étape 1.2.4.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3} \cdot - 1)$

Étape 1.2.4.2.1.7

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Étape 1.2.4.2.1.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{- 2}{3}$

Étape 1.2.4.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = \frac{1}{3} - - \frac{2}{3}$

Étape 1.2.4.2.1.10

Multipliez $- - \frac{2}{3}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = \frac{1}{3} + 1 (\frac{2}{3})$

Étape 1.2.4.2.1.10.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$e = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{1 + 2}{3}$

Étape 1.2.4.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$e = \frac{3}{3}$

Étape 1.2.4.2.4

Divisez $3$ par $3$ .

$e = 1$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{6} {(x + 2)}^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{6} {(x + 2)}^{2} + 1$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{6} \cdot {(x + 2)}^{2} + 1$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$h = - 2$

$k = 1$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Étape 4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Étape 4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{6})}$

Étape 4.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{6}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{2 (2)}{6}}$

Étape 4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Étape 4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Étape 4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 (\frac{3}{2}))$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Étape 5

Déterminez la directrice.

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Étape 5.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{5}{2}$

Étape 6