Pré-calcul Exemples

${(2 (\cos (240 °) + i \sin (240 °)))}^{4}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

${(2 (- \cos (60) + i \sin (240 °)))}^{4}$

Étape 1.1.2

La valeur exacte de $\cos (60)$ est $\frac{1}{2}$ .

${(2 (- \frac{1}{2} + i \sin (240 °)))}^{4}$

Étape 1.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

${(2 (- \frac{1}{2} + i (- \sin (60))))}^{4}$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\sin (60)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(2 (- \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})))}^{4}$

Étape 1.1.5

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(2 (- \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Étape 1.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(2 (- \frac{1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

${(2 (\frac{- 1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

${(2 (\frac{- 1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

${(- 1 + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

${(- 1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

${(- 1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

${(- 1 - i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 2

Utilisez le théorème du binôme.

${(- 1)}^{4} + 4 {(- 1)}^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 + 4 {(- 1)}^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.2

Multipliez ${(- 1)}^{3}$ par $- 1$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Déplacez $- 1$ .

$1 + 4 (- {(- 1)}^{3}) (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$1 + 4 ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3}) (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + 4 {(- 1)}^{1 + 3} (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$1 + 4 {(- 1)}^{4} (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 + 4 \cdot 1 (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 + 4 (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- i \sqrt{3}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.9

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.11

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.11.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.11.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.11.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.11.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{1}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.11.5

Évaluez l’exposant.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.12

Multipliez $6 (- 1 \cdot 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.12.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.12.2

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.13

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.14

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.14.1

Appliquez la règle de produit à $- i \sqrt{3}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 ({(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.14.2

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 ({(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.16

Factorisez $i^{2}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.17

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.18

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- - i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.19

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (1 i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.20

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.21

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{3^{3}}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.22

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{27}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.23

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.23.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{9 (3)}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.23.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.24

Extrayez les termes de sous le radical.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i (3 \sqrt{3})) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.25

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (3 \cdot i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.26

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 (i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Étape 3.1.27

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.27.1

Appliquez la règle de produit à $- i \sqrt{3}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- i)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Étape 3.1.27.2

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Étape 3.1.28

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 1 i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Étape 3.1.29

Multipliez $i^{4}$ par $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Étape 3.1.30

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.30.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} {\sqrt{3}}^{4}$

Étape 3.1.30.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{4}$

Étape 3.1.30.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}$

Étape 3.1.31

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}$

Étape 3.1.32

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.32.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Étape 3.1.32.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Étape 3.1.32.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}$

Étape 3.1.32.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.32.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.1.32.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.32.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Étape 3.1.32.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Étape 3.1.32.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}$

Étape 3.1.32.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{2}$

Étape 3.1.33

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 9$

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Soustrayez $18$ de $1$ .

$4 i \sqrt{3} - 17 - 12 i \sqrt{3} + 9$

Étape 3.2.2

Soustrayez $12 i \sqrt{3}$ de $4 i \sqrt{3}$ .

$- 8 i \sqrt{3} - 17 + 9$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Additionnez $- 17$ et $9$ .

$- 8 i \sqrt{3} - 8$

Étape 3.2.3.2

Remettez dans l’ordre $- 8 i \sqrt{3}$ et $- 8$ .

$- 8 - 8 i \sqrt{3}$