Pré-calcul Exemples

$\frac{i}{1 + i} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{i}{1 + 1 i}$ par le conjugué de $1 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{i}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2

Multipliez.

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Étape 1.2.1

Associez.

$\frac{i (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i \cdot 1 + i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{i + i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $i (- i)$ .

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Étape 1.2.2.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{i - (i^{1} i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{i - (i^{1} i^{1})}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{i - i^{1 + 1}}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{i - i^{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{i - - 1}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{i + 1}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.2.5

Remettez dans l’ordre $i$ et $1$ .

$\frac{1 + i}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Développez $(1 + 1 i) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + i}{1 - 1 i + 1 i - i i} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3.2.9

Additionnez $- 1 i$ et $1 i$ .

$\frac{1 + i}{1 + 0 - i^{2}} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1 + i}{1 - i^{2}} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1 + i}{1 - - 1} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 + i}{1 + 1} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + i}{2} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.3

Divisez la fraction $\frac{1 + i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i \cdot 1 + i i}{2}$

Étape 1.5

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i + i i}{2}$

Étape 1.6

Multipliez $i i$ .

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Étape 1.6.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i + i^{1} i}{2}$

Étape 1.6.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i + i^{1} i^{1}}{2}$

Étape 1.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i + i^{1 + 1}}{2}$

Étape 1.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i + i^{2}}{2}$

Étape 1.7

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i - 1}{2}$

Étape 1.8

Remettez dans l’ordre $i$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{- 1 + i}{2}$

Étape 1.9

Divisez la fraction $\frac{- 1 + i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{- 1}{2} + \frac{i}{2}$

Étape 1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + i - 1 + i}{2}$

Étape 3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + i + i}{2}$

Étape 4

Additionnez $0$ et $i$ .

$\frac{i + i}{2}$

Étape 5

Additionnez $i$ et $i$ .

$\frac{2 i}{2}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 i}{2}$

Étape 6.2

Divisez $i$ par $1$ .

$i$