Pré-calcul Exemples

$\ln (5 x + 1)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \ln (5 y + 1)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\ln (5 y + 1) = x$ .

$\ln (5 y + 1) = x$

Étape 2.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (5 y + 1)} = e^{x}$

Étape 2.3

Réécrivez $\ln (5 y + 1) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 5 y + 1$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’équation comme $5 y + 1 = e^{x}$ .

$5 y + 1 = e^{x}$

Étape 2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$5 y = e^{x} - 1$

Étape 2.4.3

Divisez chaque terme dans $5 y = e^{x} - 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.4.3.1

Divisez chaque terme dans $5 y = e^{x} - 1$ par $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Étape 2.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y}{5} = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Étape 2.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Étape 2.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$ est l’inverse de $f (x) = \ln (5 x + 1)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\ln (5 x + 1))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{e^{\ln (5 x + 1)}}{5} - \frac{1}{5}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{e^{\ln (5 x + 1)} - 1}{5}$

Étape 4.2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x + 1 - 1}{5}$

Étape 4.2.5

Associez les termes opposés dans $5 x + 1 - 1$ .

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x + 0}{5}$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $5 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x}{5}$

Étape 4.2.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x}{5}$

Étape 4.2.6.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) + 1)$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5}) + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5}) + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

Étape 4.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{5}$ dans le numérateur.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (\frac{- 1}{5}) + 1)$

Étape 4.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (\frac{- 1}{5}) + 1)$

Étape 4.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} - 1 + 1)$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $e^{x} - 1 + 1$ .

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Étape 4.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 0)$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x})$

Étape 4.3.5

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x \ln (e)$

Étape 4.3.6

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x \cdot 1$

Étape 4.3.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$ est l’inverse de $f (x) = \ln (5 x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$