Pré-calcul Exemples

$4 x^{2} - y^{2} + 16 y - 80 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Ajoutez $80$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - y^{2} + 16 y = 80$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- y^{2} + 16 y$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 16$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{8}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 8$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$d = - 8$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{256}{- 4}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $256$ par $- 4$ .

$e = 0 - - 64$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $64$ .

$e = 64$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(y - 8)}^{2} + 64$ .

$- {(y - 8)}^{2} + 64$

Étape 1.3

Remplacez $- y^{2} + 16 y$ par $- {(y - 8)}^{2} + 64$ dans l’équation $4 x^{2} - y^{2} + 16 y = 80$ .

$4 x^{2} - {(y - 8)}^{2} + 64 = 80$

Étape 1.4

Déplacez $64$ du côté droit de l’équation en ajoutant $64$ des deux côtés.

$4 x^{2} - {(y - 8)}^{2} = 80 - 64$

Étape 1.5

Soustrayez $64$ de $80$ .

$4 x^{2} - {(y - 8)}^{2} = 16$

Étape 1.6

Divisez chaque terme par $16$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{4 x^{2}}{16} - \frac{{(y - 8)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Étape 1.7

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{{(y - 8)}^{2}}{16} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 4$

$k = 8$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 8)$

Étape 5