Pré-calcul Exemples

$4 x^{3} - 11 x^{2} \leq 20 x$

Étape 1

Soustrayez $20 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$4 x^{3} - 11 x^{2} - 20 x \leq 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$4 x^{3} - 11 x^{2} - 20 x = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{3} - 11 x^{2} - 20 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$x (4 x^{2}) - 11 x^{2} - 20 x = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 11 x^{2}$ .

$x (4 x^{2}) + x (- 11 x) - 20 x = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 20 x$ .

$x (4 x^{2}) + x (- 11 x) + x \cdot - 20 = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x^{2}) + x (- 11 x)$ .

$x (4 x^{2} - 11 x) + x \cdot - 20 = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x^{2} - 11 x) + x \cdot - 20$ .

$x (4 x^{2} - 11 x - 20) = 0$

Étape 3.2

Factorisez.

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Étape 3.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 20 = - 80$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 x$ .

$x (4 x^{2} - 11 x - 20) = 0$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $5$ plus $- 16$

$x (4 x^{2} + (5 - 16) x - 20) = 0$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (4 x^{2} + 5 x - 16 x - 20) = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x ((4 x^{2} + 5 x) - 16 x - 20) = 0$

Étape 3.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (x (4 x + 5) - 4 (4 x + 5)) = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x + 5$ .

$x ((4 x + 5) (x - 4)) = 0$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (4 x + 5) (x - 4) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$4 x + 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Définissez $4 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $4 x + 5$ égal à $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $4 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 5$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 5$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{4}$

Étape 7

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (4 x + 5) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{5}{4}, 4$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{5}{4}$

$- \frac{5}{4} < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{5}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{5}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(- 4)}^{3} - 11 {(- 4)}^{2} \leq 20 (- 4)$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 432$ est inférieur au côté droit $- 80$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{4} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{4} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(- 1)}^{3} - 11 {(- 1)}^{2} \leq 20 (- 1)$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 15$ est supérieur au côté droit $- 20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(2)}^{3} - 11 {(2)}^{2} \leq 20 (2)$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $- 12$ est inférieur au côté droit $40$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(6)}^{3} - 11 {(6)}^{2} \leq 20 (6)$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $468$ est supérieur au côté droit $120$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{5}{4}$ Vrai

$- \frac{5}{4} < x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - \frac{5}{4}$ Vrai

$- \frac{5}{4} < x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - \frac{5}{4}$ ou $0 \leq x \leq 4$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - \frac{5}{4}] \cup [0, 4]$

Étape 13