Pré-calcul Exemples

$x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 \geq 0$

Step 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 = 0$

Step 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{3} + 2 x^{2}) - x - 2 = 0$

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x + 2) - (x + 2) = 0$

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 1) = 0$

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Factorisez.

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Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Step 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Step 4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Step 5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Step 6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Step 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 2, - 1, 1$

Step 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Step 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{3} + 2 {(- 4)}^{2} - (- 4) - 2 \geq 0$

Le côté gauche $- 30$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1.5$

Remplacez $x$ par $- 1.5$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 1.5)}^{3} + 2 {(- 1.5)}^{2} - (- 1.5) - 2 \geq 0$

Le côté gauche $0.625$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2} - (0) - 2 \geq 0$

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{3} + 2 {(4)}^{2} - (4) - 2 \geq 0$

Le côté gauche $90$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Step 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 \leq x \leq - 1$ ou $x \geq 1$

Step 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[- 2, - 1] \cup [1, \infty)$

Step 12