Pré-calcul Exemples

$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x + 1} \geq 0$

Étape 1

Réalisez le produit en croix.

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Étape 1.1

Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.

$0 \cdot (x + 1) \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Multipliez $0$ par $x + 1$ .

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Simplifiez $\sqrt{x^{2} - 1}$ .

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 1.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$0 \geq \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2

Réécrivez de sorte que $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ comme ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${((x + 1) (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.1.2

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

${(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

${(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

${(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.1.3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

${(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(x^{2} - x + x - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.1.3.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

${(x^{2} + 0 - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.1.3.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez

$x^{2} - 1 \leq 0^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} - 1 \leq 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \leq 1$

Étape 5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Étape 5.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| x | \leq 1$

Étape 5.4

Écrivez $| x | \leq 1$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 5.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 5.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 1$

Étape 5.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 5.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 1$

Étape 5.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Étape 5.5

Déterminez l’intersection de $x \leq 1$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Étape 5.6

Résolvez $- x \leq 1$ quand $x < 0$ .

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Étape 5.6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Étape 5.6.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Étape 5.6.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.1.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x \geq - 1$

Étape 5.6.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - 1$ et $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Étape 5.7

Déterminez l’union des solutions.

$- 1 \leq x \leq 1$

Étape 6

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[- 1, 1]$

Étape 7