Pré-calcul Exemples

$[\begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 9 \end{array}]$

Étape 1

L’inverse d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où $a d - b c$ est le déterminant.

Étape 2

Déterminez le déterminant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 5 \cdot 9 - 1 \cdot 9$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 5$ par $9$ .

$- 45 - 1 \cdot 9$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 45 - 9$

Étape 2.2.2

Soustrayez $9$ de $- 45$ .

$- 54$

Étape 3

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 4

Remplacez l’inverse dans la formule par les valeurs connues.

$\frac{1}{- 54} [\begin{array}{c} 9 & - 9 \\ - 1 & - 5 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{54} [\begin{array}{c} 9 & - 9 \\ - 1 & - 5 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{54}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{54} \cdot 9 & - \frac{1}{54} \cdot - 9 \\ - \frac{1}{54} \cdot - 1 & - \frac{1}{54} \cdot - 5 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{54}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{54} \cdot 9 & - \frac{1}{54} \cdot - 9 \\ - \frac{1}{54} \cdot - 1 & - \frac{1}{54} \cdot - 5 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Factorisez $9$ à partir de $54$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{9 (6)} \cdot 9 & - \frac{1}{54} \cdot - 9 \\ - \frac{1}{54} \cdot - 1 & - \frac{1}{54} \cdot - 5 \end{array}]$

Étape 7.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{9 \cdot 6} \cdot 9 & - \frac{1}{54} \cdot - 9 \\ - \frac{1}{54} \cdot - 1 & - \frac{1}{54} \cdot - 5 \end{array}]$

Étape 7.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6} & - \frac{1}{54} \cdot - 9 \\ - \frac{1}{54} \cdot - 1 & - \frac{1}{54} \cdot - 5 \end{array}]$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{54} \cdot - 9 \\ - \frac{1}{54} \cdot - 1 & - \frac{1}{54} \cdot - 5 \end{array}]$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{54}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & \frac{- 1}{54} \cdot - 9 \\ - \frac{1}{54} \cdot - 1 & - \frac{1}{54} \cdot - 5 \end{array}]$

Étape 7.3.2

Factorisez $9$ à partir de $54$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & \frac{- 1}{9 (6)} \cdot - 9 \\ - \frac{1}{54} \cdot - 1 & - \frac{1}{54} \cdot - 5 \end{array}]$

Étape 7.3.3

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & \frac{- 1}{9 \cdot 6} \cdot (9 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{54} \cdot - 1 & - \frac{1}{54} \cdot - 5 \end{array}]$

Étape 7.3.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & \frac{- 1}{9 \cdot 6} \cdot (9 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{54} \cdot - 1 & - \frac{1}{54} \cdot - 5 \end{array}]$

Étape 7.3.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & \frac{- 1}{6} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{54} \cdot - 1 & - \frac{1}{54} \cdot - 5 \end{array}]$

Étape 7.4

Associez $\frac{- 1}{6}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & \frac{- - 1}{6} \\ - \frac{1}{54} \cdot - 1 & - \frac{1}{54} \cdot - 5 \end{array}]$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{54} \cdot - 1 & - \frac{1}{54} \cdot - 5 \end{array}]$

Étape 7.6

Multipliez $- \frac{1}{54} \cdot - 1$ .

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Étape 7.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ 1 (\frac{1}{54}) & - \frac{1}{54} \cdot - 5 \end{array}]$

Étape 7.6.2

Multipliez $\frac{1}{54}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{54} & - \frac{1}{54} \cdot - 5 \end{array}]$

Étape 7.7

Multipliez $- \frac{1}{54} \cdot - 5$ .

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Étape 7.7.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{54} & 5 (\frac{1}{54}) \end{array}]$

Étape 7.7.2

Associez $5$ et $\frac{1}{54}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{54} & \frac{5}{54} \end{array}]$