Pré-calcul Exemples

$x = y^{2} - 4 y$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} - 4 y = x$ .

$y^{2} - 4 y = x$

Étape 2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 4 y - x = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Réécrivez $- 4 (- 4 - x)$ comme $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

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Étape 5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $- 4 (- 4 - x)$ comme $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

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Étape 6.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Réécrivez $- 4 (- 4 - x)$ comme $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

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Étape 7.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Étape 9

Interchangez les variables. Créez une équation pour chaque expression.

$x = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)}, x = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - y)}$

Étape 10

Résolvez $y$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$ .

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x - 2$

Étape 10.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- 1 (- 4 - y)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 10.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 10.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- 1 (- 4 - y)}$ comme ${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 10.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 10.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- 1 (- 4 - y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(- 1 \cdot - 4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

${(4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $- 1 (- y)$ .

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Étape 10.4.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${(4 + 1 y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

${(4 + y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.5

Simplifiez

$4 + y = {(x - 2)}^{2}$

Étape 10.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.4.3.1

Simplifiez ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 10.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$4 + y = (x - 2) (x - 2)$

Étape 10.4.3.1.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 + y = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Étape 10.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Étape 10.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 10.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 + y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 10.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$4 + y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 10.4.3.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 + y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Étape 10.4.3.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$4 + y = x^{2} - 4 x + 4$

Étape 10.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.5.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 4$

Étape 10.5.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 4 x + 4 - 4$ .

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Étape 10.5.2.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y = x^{2} - 4 x + 0$

Étape 10.5.2.2

Additionnez $x^{2} - 4 x$ et $0$ .

$y = x^{2} - 4 x$

Étape 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Étape 12

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ est l’inverse de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

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Étape 12.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ et $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ puis comparez-les.

Étape 12.2

Déterminez la plage de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

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Étape 12.2.1

Déterminez la plage de $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

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Étape 12.2.1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[2, \infty)$

Étape 12.2.2

Déterminez la plage de $2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

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Étape 12.2.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2]$

Étape 12.2.3

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Étape 12.2.3.1

L’union se compose de tous les éléments contenus dans chaque intervalle.

$(- \infty, \infty)$

Étape 12.3

Déterminez le domaine de $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

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Étape 12.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$

Étape 12.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 12.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 12.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 1 (- 4 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 12.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.3.2.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{- 4 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 12.3.2.1.2.2

Divisez $- 4 - x$ par $1$ .

$- 4 - x \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 12.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$- 4 - x \leq 0$

Étape 12.3.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- x \leq 4$

Étape 12.3.2.3

Divisez chaque terme dans $- x \leq 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 12.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 4$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Étape 12.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.3.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Étape 12.3.2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Étape 12.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.3.2.3.3.1

Divisez $4$ par $- 1$ .

$x \geq - 4$

Étape 12.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 4, \infty)$

Étape 12.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ se trouve sur la plage de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ est le domaine de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ est l’inverse de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Étape 13