Pré-calcul Exemples

$C (t) = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$

Step 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = 3 t^{2} + 1$ .

$\frac{(3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Différenciez.

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Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Multipliez $3 t^{2} + 1$ par $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Simplifiez l’expression.

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Additionnez $6 t$ et $0$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Soustrayez $6 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Simplifiez

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Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{- (3 t^{2}) + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 t^{2}) - 1 (- 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 t^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Réécrivez $- (3 t^{2} - 1)$ comme $- 1 (3 t^{2} - 1)$ .

$\frac{- 1 (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = - 1$ et $g (t) = \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$C'' (t) = - \frac{d}{d t} \cdot \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t^{2} - 1) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{({(3 t^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Différenciez.

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Multipliez les exposants dans ${({(3 t^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t^{2} - 1) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Multipliez $2$ par $2$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t^{2} - 1) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{2} - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Multipliez $2$ par $3$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (6 t + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (6 t + 0) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Simplifiez l’expression.

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Additionnez $6 t$ et $0$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (6 t) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Déplacez $6$ à gauche de ${(3 t^{2} + 1)}^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{6 \cdot ({(3 t^{2} + 1)}^{2} t) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = 3 t^{2} + 1$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 t^{2} + 1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - (3 t^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - (3 t^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 t^{2} + 1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - (3 t^{2} - 1) (2 (3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Différenciez.

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Multipliez $2$ par $- 1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Multipliez $2$ par $3$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (6 t + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (6 t + 0))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Simplifiez l’expression.

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Additionnez $6 t$ et $0$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (6 t))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Déplacez $6$ à gauche de $3 t^{2} + 1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) (6 \cdot ((3 t^{2} + 1) t))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

Simplifiez l’expression.

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Multipliez $\frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$ par $0$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + 0$

Additionnez $- \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$ et $0$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Appliquez la propriété distributive.

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Simplifiez le numérateur.

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Simplifiez chaque terme.

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Réécrivez ${(3 t^{2} + 1)}^{2}$ comme $(3 t^{2} + 1) (3 t^{2} + 1)$ .

$C'' (t) = - \frac{6 ((3 t^{2} + 1) (3 t^{2} + 1)) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Développez $(3 t^{2} + 1) (3 t^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Appliquez la propriété distributive.

$C'' (t) = - \frac{6 (3 t^{2} (3 t^{2} + 1) + 1 (3 t^{2} + 1)) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Appliquez la propriété distributive.

$C'' (t) = - \frac{6 (3 t^{2} (3 t^{2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2} + 1)) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Appliquez la propriété distributive.

$C'' (t) = - \frac{6 (3 t^{2} (3 t^{2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Simplifiez chaque terme.

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Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 t^{2} t^{2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $t^{2}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $t^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 (t^{2} t^{2})) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 t^{2 + 2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Additionnez $2$ et $2$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 t^{4}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $3$ par $3$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $3$ par $1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $3 t^{2}$ par $1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} + 3 t^{2} + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $1$ par $1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} + 3 t^{2} + 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Additionnez $3 t^{2}$ et $3 t^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 6 t^{2} + 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Appliquez la propriété distributive.

$C'' (t) = - \frac{(6 (9 t^{4}) + 6 (6 t^{2}) + 6 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Simplifiez

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Multipliez $9$ par $6$ .

$C'' (t) = - \frac{(54 t^{4} + 6 (6 t^{2}) + 6 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $6$ par $6$ .

$C'' (t) = - \frac{(54 t^{4} + 36 t^{2} + 6 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $6$ par $1$ .

$C'' (t) = - \frac{(54 t^{4} + 36 t^{2} + 6) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Appliquez la propriété distributive.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{4} t + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Simplifiez

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Multipliez $t^{4}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $t$ .

$C'' (t) = - \frac{54 (t \cdot t^{4}) + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $t$ par $t^{4}$ .

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Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 (t \cdot t^{4}) + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{1 + 4} + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Additionnez $1$ et $4$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Déplacez $t$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 (t \cdot t^{2}) + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 (t \cdot t^{2}) + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{1 + 2} + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Additionnez $1$ et $2$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Déplacez $t$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 (t \cdot t^{2}) + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 (t \cdot t^{2}) + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{1 + 2} + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Additionnez $1$ et $2$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{3} + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $t$ par $1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{3} + t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Développez $(- 36 t^{2} + 12) (3 t^{3} + t)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Appliquez la propriété distributive.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 t^{2} (3 t^{3} + t) + 12 (3 t^{3} + t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Appliquez la propriété distributive.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 t^{2} (3 t^{3}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3} + t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Appliquez la propriété distributive.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 t^{2} (3 t^{3}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 t^{2} t^{3}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $t^{2}$ par $t^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Déplacez $t^{3}$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 (t^{3} t^{2})) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 t^{3 + 2}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Additionnez $3$ et $2$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 t^{5}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $- 36$ par $3$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Déplacez $t$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 (t \cdot t^{2}) + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 (t \cdot t^{2}) + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{1 + 2} + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Additionnez $1$ et $2$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{3} + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Multipliez $3$ par $12$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{3} + 36 t^{3} + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Additionnez $- 36 t^{3}$ et $36 t^{3}$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} + 0 + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Additionnez $- 108 t^{5}$ et $0$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Soustrayez $108 t^{5}$ de $54 t^{5}$ .

$C'' (t) = - \frac{- 54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Additionnez $6 t$ et $12 t$ .

$C'' (t) = - \frac{- 54 t^{5} + 36 t^{3} + 18 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Simplifiez le numérateur.

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Factorisez $18 t$ à partir de $- 54 t^{5} + 36 t^{3} + 18 t$ .

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Factorisez $18 t$ à partir de $- 54 t^{5}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4}) + 36 t^{3} + 18 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Factorisez $18 t$ à partir de $36 t^{3}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4}) + 18 t (2 t^{2}) + 18 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Factorisez $18 t$ à partir de $18 t$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4}) + 18 t (2 t^{2}) + 18 t (1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Factorisez $18 t$ à partir de $18 t (- 3 t^{4}) + 18 t (2 t^{2})$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4} + 2 t^{2}) + 18 t (1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Factorisez $18 t$ à partir de $18 t (- 3 t^{4} + 2 t^{2}) + 18 t (1)$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4} + 2 t^{2} + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Réécrivez $t^{4}$ comme ${(t^{2})}^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 {(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Laissez $u = t^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $t^{2}$ par $u$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} + 2 u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Factorisez par regroupement.

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Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Factorisez $2$ à partir de $2 u$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} + 2 (u) + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} + (- 1 + 3) u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Appliquez la propriété distributive.

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} - 1 u + 3 u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 u^{2} - 1 u) + 3 u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$C'' (t) = - \frac{18 t (u (- 3 u - 1) - (- 3 u - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 u - 1$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 u - 1) (u - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 t^{2} - 1) (t^{2} - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 t^{2} - 1) (t^{2} - 1^{2}))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Factorisez.

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{2} - 1) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Annulez le facteur commun à $- 3 t^{2} - 1$ et ${(3 t^{2} + 1)}^{4}$ .

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Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 t^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- (3 t^{2}) - 1) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- (3 t^{2}) - 1 \cdot 1) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 t^{2}) - 1 (1)$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- (3 t^{2} + 1)) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Réécrivez $- (3 t^{2} + 1)$ comme $- 1 (3 t^{2} + 1)$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 1 (3 t^{2} + 1)) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Factorisez $3 t^{2} + 1$ à partir de $18 t (- 1 (3 t^{2} + 1)) (t + 1) (t - 1)$ .

$C'' (t) = - \frac{(3 t^{2} + 1) ((18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Annulez les facteurs communs.

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Factorisez $3 t^{2} + 1$ à partir de ${(3 t^{2} + 1)}^{4}$ .

$C'' (t) = - \frac{(3 t^{2} + 1) ((18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1))}{(3 t^{2} + 1) {(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Annulez le facteur commun.

$C'' (t) = - \frac{(3 t^{2} + 1) ((18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1))}{(3 t^{2} + 1) {(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Réécrivez l’expression.

$C'' (t) = - \frac{(18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$C'' (t) = - \frac{- 18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$C'' (t) = \frac{((18) t (t + 1)) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Multipliez $- - \frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$ .

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Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$C'' (t) = 1 (\frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}})$

Multipliez $\frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$ par $1$ .

$C'' (t) = \frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Step 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Step 4

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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$f' (t) = \frac{(3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Différenciez.

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Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (t) = \frac{(3 t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Multipliez $3 t^{2} + 1$ par $1$ .

$f' (t) = \frac{3 t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$f' (t) = \frac{3 t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = \frac{3 t^{2} + 1 - t (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (t) = \frac{3 t^{2} + 1 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (t) = \frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + \frac{d}{d t} (1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$f' (t) = \frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Simplifiez l’expression.

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Additionnez $6 t$ et $0$ .

$f' (t) = \frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f' (t) = \frac{3 t^{2} + 1 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$f' (t) = \frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$f' (t) = \frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (t) = \frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (t) = \frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Soustrayez $6 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{- 3 t^{2} + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Simplifiez

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Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{- (3 t^{2}) + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f' (t) = \frac{- (3 t^{2}) - 1 \cdot - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 t^{2}) - 1 (- 1)$ .

$f' (t) = \frac{- (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Réécrivez $- (3 t^{2} - 1)$ comme $- 1 (3 t^{2} - 1)$ .

$f' (t) = \frac{- 1 (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (t) = - \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

La dérivée première de $C (t)$ par rapport à $t$ est $- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Step 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 t^{2} - 1 = 0$

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 t^{2} = 1$

Divisez chaque terme dans $3 t^{2} = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $3 t^{2} = 1$ par $3$ .

$\frac{3 t^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $3$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{3 t^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Divisez $t^{2}$ par $1$ .

$t^{2} = \frac{1}{3}$

Prenez la racine carrée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$t = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Toute racine de $1$ est $1$ .

$t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Réécrivez l’expression.

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Évaluez l’exposant.

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Step 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 7

Points critiques à évaluer.

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Step 8

Évaluez la dérivée seconde sur $t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{18 (\frac{\sqrt{3}}{3}) ((\frac{\sqrt{3}}{3}) + 1) ((\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1)}{{(3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

Step 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Associez $18$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{1}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 (\frac{3}{9}) + 1)}^{3}}$

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 (3)} + 1)}^{3}}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(\frac{3}{3} + 1)}^{3}}$

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{2^{3}}$

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Simplifiez le numérateur.

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Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Réduisez l’expression $\frac{18 \sqrt{3}}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Factorisez $3$ à partir de $18 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (6 \sqrt{3})}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{\frac{3 (6 \sqrt{3})}{3 (1)} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{3 (6 \sqrt{3})}{3 \cdot 1} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3}}{1} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Divisez $6 \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{6 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{6 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}{8}$

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}{8}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} \frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}}{8}$

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} \frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Associez les exposants.

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Associez $\frac{\sqrt{3} + 3}{3}$ et $6$ .

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6}{3} \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Associez $\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6}{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Multipliez $\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{\sqrt{3} - 3}{3}$ .

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3 \cdot 3}}{8}$

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{9}}{8}$

Réduisez l’expression $\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{9}$ en annulant les facteurs communs.

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Factorisez $3$ à partir de $(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)$ .

$\frac{\frac{3 ((\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3))}{9}}{8}$

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{\frac{3 ((\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3))}{3 (3)}}{8}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{3 ((\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3))}{3 \cdot 3}}{8}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Simplifiez le numérateur.

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Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{(\sqrt{3} \cdot 2 + 3 \cdot 2) \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2) \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot \sqrt{3} + 6) \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Multipliez $2 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{2} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{1} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3 + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\frac{(6 + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Développez $(6 + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{6 (\sqrt{3} - 3) + 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 6 \sqrt{3} \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $6$ par $- 3$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \sqrt{3} \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Multipliez $6 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{1} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3 + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 18 + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 18 - 18 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Soustrayez $18 \sqrt{3}$ de $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{- 18 + 18 - 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Additionnez $- 18$ et $18$ .

$\frac{\frac{0 - 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Soustrayez $12 \sqrt{3}$ de $0$ .

$\frac{\frac{- 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $3$ à partir de $- 12 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (- 4 \sqrt{3})}{3}}{8}$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{\frac{3 (- 4 \sqrt{3})}{3 (1)}}{8}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{3 (- 4 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{8}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{3}}{1}}{8}$

Divisez $- 4 \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{8}$

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (- \sqrt{3})}{8}$

Annulez les facteurs communs.

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Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 (- \sqrt{3})}{4 (2)}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{3}}{2}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Step 10

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ est un maximum local

Step 11

Déterminez la valeur y quand $t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Remplacez la variable $t$ par $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dans l’expression.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

Simplifiez le résultat.

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Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}) + 1}$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

Réécrivez l’expression.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

Évaluez l’exposant.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{9}) + 1}$

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 (3)}) + 1}$

Annulez le facteur commun.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 \cdot 3}) + 1}$

Réécrivez l’expression.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + 1}$

Divisez $3$ par $3$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{1 + 1}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Multipliez $3$ par $2$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6}$

La réponse finale est $\frac{\sqrt{3}}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Step 12

Évaluez la dérivée seconde sur $t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{18 (- \frac{\sqrt{3}}{3}) ((- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 1) ((- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1)}{{(3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

Step 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez le numérateur.

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Multipliez $- 1$ par $18$ .

$\frac{- 18 \frac{\sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

Associez $- 18$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 1)}^{3}}$

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1)}^{3}}$

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 (1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1)}^{3}}$

Multipliez $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{1}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 (\frac{3}{9}) + 1)}^{3}}$

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 (3)} + 1)}^{3}}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(\frac{3}{3} + 1)}^{3}}$

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{2^{3}}$

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Simplifiez le numérateur.

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Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Réduisez l’expression $\frac{- 18 \sqrt{3}}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Factorisez $3$ à partir de $- 18 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (- 6 \sqrt{3})}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{\frac{3 (- 6 \sqrt{3})}{3 (1)} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{3 (- 6 \sqrt{3})}{3 \cdot 1} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3}}{1} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Divisez $- 6 \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- 6 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}{8}$

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}{8}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} \frac{- \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}}{8}$

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} \frac{- \sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Associez les exposants.

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Associez $\frac{- \sqrt{3} + 3}{3}$ et $- 6$ .

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6}{3} \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Associez $\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6}{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- \sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Multipliez $\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{- \sqrt{3} - 3}{3}$ .

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3 \cdot 3}}{8}$

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{9}}{8}$

Réduisez l’expression $\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{9}$ en annulant les facteurs communs.

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Factorisez $3$ à partir de $(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)$ .

$\frac{\frac{3 ((- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3))}{9}}{8}$

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{\frac{3 ((- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3))}{3 (3)}}{8}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{3 ((- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3))}{3 \cdot 3}}{8}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Simplifiez le numérateur.

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Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} \cdot - 2 + 3 \cdot - 2) \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} + 3 \cdot - 2) \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} - 6) \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Multipliez $2 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{2} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{1} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3 - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\frac{(6 - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Développez $(6 - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{6 (- \sqrt{3} - 3) - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{6 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot - 3 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{6 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot - 3 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Multipliez $- 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \sqrt{3} \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{2} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{1} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3 - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 18 - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Multipliez $- 3$ par $- 6$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 18 + 18 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Additionnez $- 6 \sqrt{3}$ et $18 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{- 18 + 18 + 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Additionnez $- 18$ et $18$ .

$\frac{\frac{0 + 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Additionnez $0$ et $12 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Factorisez $3$ à partir de $12 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (4 \sqrt{3})}{3}}{8}$

Annulez les facteurs communs.

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Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{\frac{3 (4 \sqrt{3})}{3 (1)}}{8}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{3 (4 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{8}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{4 \sqrt{3}}{1}}{8}$

Divisez $4 \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{8}$

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (\sqrt{3})}{8}$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Step 14

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ est un minimum local

Step 15

Déterminez la valeur y quand $t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Remplacez la variable $t$ par $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans l’expression.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{3}}{3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

Simplifiez le résultat.

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Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

Simplifiez le dénominateur.

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Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 1}$

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1}$

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1}$

Multipliez $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}) + 1}$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

Réécrivez l’expression.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

Évaluez l’exposant.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{9}) + 1}$

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 (3)}) + 1}$

Annulez le facteur commun.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 \cdot 3}) + 1}$

Réécrivez l’expression.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + 1}$

Divisez $3$ par $3$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{1 + 1}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Multipliez $- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Multipliez $2$ par $3$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{6}$

La réponse finale est $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{6}$

Step 16

Ce sont les extrema locaux pour $C (t) = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{6})$ est un maximum local

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{6})$ est un minimum local

Step 17