Pré-calcul Exemples

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y - 37 = 0$

Étape 1

Ajoutez $37$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$

Étape 2

Complétez le carré pour $12 x^{2} - 12 x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 12$

$b = - 12$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 12}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (12)}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 6}{12}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{6 (- 1)}{12}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 12}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 12)}^{2}$ et $12$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (12))}^{2}}{4 \cdot 12}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Étape 2.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Étape 2.4.2.1.1.4

Multipliez $12^{2}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 12}$

Étape 2.4.2.1.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12^{2}$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{4 \cdot 12}$

Étape 2.4.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1.1.6.1

Factorisez $12$ à partir de $4 \cdot 12$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Étape 2.4.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Étape 2.4.2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{12}{4}$

Étape 2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $4$ .

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Étape 2.4.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4}$

Étape 2.4.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

Étape 2.4.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{3}{1}$

Étape 2.4.2.1.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Étape 2.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$e = 0 - 3$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$e = - 3$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$

Étape 3

Remplacez $12 x^{2} - 12 x$ par $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ dans l’équation $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3 + 20 y^{2} + 40 y = 37$

Étape 4

Déplacez $- 3$ du côté droit de l’équation en ajoutant $3$ des deux côtés.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 y^{2} + 40 y = 37 + 3$

Étape 5

Complétez le carré pour $20 y^{2} + 40 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 20$

$b = 40$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot 20}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $40$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 20$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (20)}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{20}{20}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{20}{20}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 20}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $40$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 20}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $20$ .

$e = 0 - \frac{1600}{80}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $1600$ par $80$ .

$e = 0 - 1 \cdot 20$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$e = 0 - 20$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $20$ de $0$ .

$e = - 20$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ .

$20 {(y + 1)}^{2} - 20$

Étape 6

Remplacez $20 y^{2} + 40 y$ par $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ dans l’équation $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} - 20 = 37 + 3$

Étape 7

Déplacez $- 20$ du côté droit de l’équation en ajoutant $20$ des deux côtés.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 37 + 3 + 20$

Étape 8

Simplifiez $37 + 3 + 20$ .

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Étape 8.1

Additionnez $37$ et $3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 40 + 20$

Étape 8.2

Additionnez $40$ et $20$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 60$

Étape 9

Divisez chaque terme par $60$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{12 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{60} + \frac{20 {(y + 1)}^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{5} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

Étape 11

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 12

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = \frac{1}{2}$

Étape 13

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 14

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 15.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 15.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 15.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 15.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 15.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 15.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{5 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 15.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 15.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 15.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 15.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Étape 15.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Étape 15.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{1}}}{\sqrt{5}}$

Étape 15.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{5 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Étape 15.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3}}{\sqrt{5}}$

Étape 15.1.4

Soustrayez $3$ de $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Étape 15.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 15.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 15.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 15.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 15.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 15.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 15.3.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 15.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 15.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 15.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 15.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 15.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 15.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Étape 15.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Étape 15.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Forme décimale :

$0.63245553 \dots$

Étape 17