Pré-calcul Exemples

$4 x^{2} + 25 y^{2} + 16 x - 150 y + 141 = 0$

Étape 1

Soustrayez $141$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + 25 y^{2} + 16 x - 150 y = - 141$

Étape 2

Complétez le carré pour $4 x^{2} + 16 x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = 16$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (4)}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{8}{4}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 2.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Étape 2.4.2.1.3

Divisez $256$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e = 0 - 16$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(x + 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x + 2)}^{2} - 16$

Étape 3

Remplacez $4 x^{2} + 16 x$ par $4 {(x + 2)}^{2} - 16$ dans l’équation $4 x^{2} + 25 y^{2} + 16 x - 150 y = - 141$ .

$4 {(x + 2)}^{2} - 16 + 25 y^{2} - 150 y = - 141$

Étape 4

Déplacez $- 16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 y^{2} - 150 y = - 141 + 16$

Étape 5

Complétez le carré pour $25 y^{2} - 150 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 25$

$b = - 150$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 150}{2 \cdot 25}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 150$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 150$ .

$d = \frac{2 \cdot - 75}{2 \cdot 25}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 75}{2 (25)}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 75}{2 \cdot 25}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 75}{25}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 75$ et $25$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $- 75$ .

$d = \frac{25 \cdot - 3}{25}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 3}{25 (1)}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{25 \cdot - 3}{25 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{1}$

Étape 5.3.2.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$d = - 3$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 150)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $- 150$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{22500}{4 \cdot 25}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $25$ .

$e = 0 - \frac{22500}{100}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $22500$ par $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $225$ .

$e = 0 - 225$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $225$ de $0$ .

$e = - 225$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $25 {(y - 3)}^{2} - 225$ .

$25 {(y - 3)}^{2} - 225$

Étape 6

Remplacez $25 y^{2} - 150 y$ par $25 {(y - 3)}^{2} - 225$ dans l’équation $4 x^{2} + 25 y^{2} + 16 x - 150 y = - 141$ .

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 3)}^{2} - 225 = - 141 + 16$

Étape 7

Déplacez $- 225$ du côté droit de l’équation en ajoutant $225$ des deux côtés.

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 3)}^{2} = - 141 + 16 + 225$

Étape 8

Simplifiez $- 141 + 16 + 225$ .

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Étape 8.1

Additionnez $- 141$ et $16$ .

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 3)}^{2} = - 125 + 225$

Étape 8.2

Additionnez $- 125$ et $225$ .

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 3)}^{2} = 100$

Étape 9

Divisez chaque terme par $100$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{100} + \frac{25 {(y - 3)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{4} = 1$

Étape 11

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 12

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 5$

$b = 2$

$k = 3$

$h = - 2$

Étape 13

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 14

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(2)}^{2}}}{5}$

Étape 15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 2^{2}}}{5}$

Étape 15.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 4}}{5}$

Étape 15.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{25 - 4}}{5}$

Étape 15.4

Soustrayez $4$ de $25$ .

$\frac{\sqrt{21}}{5}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{21}}{5}$

Forme décimale :

$0.91651513 \dots$

Étape 17