Pré-calcul Exemples

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y - 44 = 0$

Step 1

Ajoutez $44$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y = 44$

Step 2

Complétez le carré pour $9 x^{2} - 36 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun à $- 36$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 18}{9}$

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $9$ à partir de $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $- 36$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Divisez $1296$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$e = 0 - 36$

Soustrayez $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Step 3

Remplacez $9 x^{2} - 36 x$ par $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ dans l’équation $9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y = 44$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 + 4 y^{2} + 32 y = 44$

Step 4

Déplacez $- 36$ du côté droit de l’équation en ajoutant $36$ des deux côtés.

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 y^{2} + 32 y = 44 + 36$

Step 5

Complétez le carré pour $4 y^{2} + 32 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = 32$

$c = 0$

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{32}{2 \cdot 4}$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun à $32$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (4)}$

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{16}{4}$

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4}$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{1}$

Divisez $4$ par $1$ .

$d = 4$

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot 4}$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Divisez $1024$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$e = 0 - 64$

Soustrayez $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ .

$4 {(y + 4)}^{2} - 64$

Step 6

Remplacez $4 y^{2} + 32 y$ par $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ dans l’équation $9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y = 44$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} - 64 = 44 + 36$

Step 7

Déplacez $- 64$ du côté droit de l’équation en ajoutant $64$ des deux côtés.

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 44 + 36 + 64$

Step 8

Simplifiez $44 + 36 + 64$ .

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Additionnez $44$ et $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 80 + 64$

Additionnez $80$ et $64$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 144$

Step 9

Divisez chaque terme par $144$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{144} + \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Step 10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{36} = 1$

Step 11

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Step 12

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 6$

$b = 4$

$k = - 4$

$h = 2$

Step 13

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Step 14

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}}{6}$

Step 15

Simplifiez

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Simplifiez le numérateur.

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Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 4^{2}}}{6}$

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 16}}{6}$

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{\sqrt{36 - 16}}{6}$

Soustrayez $16$ de $36$ .

$\frac{\sqrt{20}}{6}$

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{6}$

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{6}$

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{6}$

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{5})}{6}$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Step 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Forme décimale :

$0.74535599 \dots$

Step 17