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Pré-calcul Exemples
Step 1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
La dérivée de par rapport à est .
Remplacez toutes les occurrences de par .
Différenciez.
Associez et .
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Simplifiez les termes.
Associez et .
Annulez le facteur commun de .
Annulez le facteur commun.
Divisez par .
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Multipliez par .
Step 2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
La dérivée de par rapport à est .
Remplacez toutes les occurrences de par .
Différenciez.
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Multipliez par .
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Multipliez par .
Step 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Step 4
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Step 5
La valeur exacte de est .
Step 6
Divisez chaque terme dans par .
Simplifiez le côté gauche.
Annulez le facteur commun de .
Annulez le facteur commun.
Divisez par .
Simplifiez le côté droit.
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Multipliez .
Multipliez par .
Multipliez par .
Step 7
La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Step 8
Simplifiez
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Associez et .
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Multipliez par .
Soustrayez de .
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Divisez chaque terme dans par .
Simplifiez le côté gauche.
Annulez le facteur commun de .
Annulez le facteur commun.
Divisez par .
Simplifiez le côté droit.
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Multipliez .
Multipliez par .
Multipliez par .
Step 9
La solution de l’équation est .
Step 10
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Step 11
Annulez le facteur commun de .
Factorisez à partir de .
Annulez le facteur commun.
Réécrivez l’expression.
La valeur exacte de est .
Multipliez par .
Step 12
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Step 13
Remplacez la variable par dans l’expression.
Simplifiez le résultat.
Annulez le facteur commun de .
Factorisez à partir de .
Annulez le facteur commun.
Réécrivez l’expression.
La valeur exacte de est .
Multipliez par .
La réponse finale est .
Step 14
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Step 15
Annulez le facteur commun de .
Factorisez à partir de .
Annulez le facteur commun.
Réécrivez l’expression.
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.
La valeur exacte de est .
Multipliez .
Multipliez par .
Multipliez par .
Step 16
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Step 17
Remplacez la variable par dans l’expression.
Simplifiez le résultat.
Annulez le facteur commun de .
Factorisez à partir de .
Annulez le facteur commun.
Réécrivez l’expression.
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.
La valeur exacte de est .
Multipliez par .
Associez et .
Placez le signe moins devant la fraction.
La réponse finale est .
Step 18
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
est un minimum local
Step 19