Pré-calcul Exemples

Trouver la valeur maximale/minimale y=1/2sin(2x)
Step 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
La dérivée de par rapport à est .
Remplacez toutes les occurrences de par .
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Associez et .
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Simplifiez les termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Associez et .
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Annulez le facteur commun.
Divisez par .
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Multipliez par .
Step 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
La dérivée de par rapport à est .
Remplacez toutes les occurrences de par .
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Multipliez par .
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Multipliez par .
Step 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Step 4
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Step 5
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
La valeur exacte de est .
Step 6
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Divisez chaque terme dans par .
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Annulez le facteur commun.
Divisez par .
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Multipliez par .
Multipliez par .
Step 7
La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Step 8
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Associez et .
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Multipliez par .
Soustrayez de .
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Divisez chaque terme dans par .
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Annulez le facteur commun.
Divisez par .
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Multipliez par .
Multipliez par .
Step 9
La solution de l’équation est .
Step 10
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Step 11
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Factorisez à partir de .
Annulez le facteur commun.
Réécrivez l’expression.
La valeur exacte de est .
Multipliez par .
Step 12
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Step 13
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Remplacez la variable par dans l’expression.
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Factorisez à partir de .
Annulez le facteur commun.
Réécrivez l’expression.
La valeur exacte de est .
Multipliez par .
La réponse finale est .
Step 14
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Step 15
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Factorisez à partir de .
Annulez le facteur commun.
Réécrivez l’expression.
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.
La valeur exacte de est .
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Multipliez par .
Multipliez par .
Step 16
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Step 17
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Remplacez la variable par dans l’expression.
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Factorisez à partir de .
Annulez le facteur commun.
Réécrivez l’expression.
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.
La valeur exacte de est .
Multipliez par .
Associez et .
Placez le signe moins devant la fraction.
La réponse finale est .
Step 18
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
est un minimum local
Step 19
Cookies et confidentialité
Ce site utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web.
Plus d’informations