Pré-calcul Exemples

$2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 13, \pm 26, \pm 52$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 13, \pm \frac{13}{2}, \pm 26, \pm 52$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(\frac{1}{2})}^{4} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = \frac{1}{2}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 5 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{8} - 5 \frac{1}{2^{3}} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8} - 5 (\frac{1}{8}) - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.8

Associez $- 5$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{- 5}{8} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 \frac{1}{2^{2}} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 (\frac{1}{4}) + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.13

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.13.1

Factorisez $4$ à partir de $- 20$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} + 4 (- 5) \frac{1}{4} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 5 + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Étape 4.1.14

Associez $115$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 5 + \frac{115}{2} - 52$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 5 - 52 + \frac{1 - 5}{8} + \frac{115}{2}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$- 5 - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Étape 4.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.3.1

Écrivez $- 5$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 5}{1} - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{- 5}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5}{1} \cdot \frac{8}{8} - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Étape 4.3.3

Multipliez $\frac{- 5}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Étape 4.3.4

Écrivez $- 52$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52}{1} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{- 52}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Étape 4.3.6

Multipliez $\frac{- 52}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Étape 4.3.7

Multipliez $\frac{115}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 4.3.8

Multipliez $\frac{115}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Étape 4.3.9

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115 \cdot 4}{8}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 5 \cdot 8 - 52 \cdot 8 - 4 + 115 \cdot 4}{8}$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$\frac{- 40 - 52 \cdot 8 - 4 + 115 \cdot 4}{8}$

Étape 4.5.2

Multipliez $- 52$ par $8$ .

$\frac{- 40 - 416 - 4 + 115 \cdot 4}{8}$

Étape 4.5.3

Multipliez $115$ par $4$ .

$\frac{- 40 - 416 - 4 + 460}{8}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Soustrayez $416$ de $- 40$ .

$\frac{- 456 - 4 + 460}{8}$

Étape 4.6.2

Soustrayez $4$ de $- 456$ .

$\frac{- 460 + 460}{8}$

Étape 4.6.3

Additionnez $- 460$ et $460$ .

$\frac{0}{8}$

Étape 4.6.4

Divisez $0$ par $8$ .

$0$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - \frac{1}{2}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52}{x - \frac{1}{2}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 5)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$
	$2$	$- 4$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 20)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$
	$2$	$- 4$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$
	$2$	$- 4$	$- 22$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 22)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 11)$ sous le terme suivant dans le dividende $(115)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$
	$2$	$- 4$	$- 22$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$
	$2$	$- 4$	$- 22$	$104$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(104)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(52)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 52)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$	$52$
	$2$	$- 4$	$- 22$	$104$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$	$52$
	$2$	$- 4$	$- 22$	$104$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 22) x + 104$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x^{3} - 4 x^{2} - 22 x + 104$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 4 x^{2} - 22 x + 104$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 4 x^{2} - 22 x + 104)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) - 22 x + 104)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 22 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 104)$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $104$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 \cdot 52)$

Étape 7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 \cdot 52)$

Étape 7.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 11 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x) + 2 \cdot 52)$

Étape 7.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x) + 2 \cdot 52$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 52))$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Regroupez les termes.

$- 5 x^{3} - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Étape 8.2

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{3} - 20 x^{2}$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x^{2} x - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Étape 8.2.2

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 20 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} x - 5 x^{2} \cdot 4 + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Étape 8.2.3

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (4)$ .

$- 5 x^{2} (x + 4) + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Étape 8.3

Factorisez $2 x^{4} + 115 x - 52$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 8.3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 8.3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 52, \pm 26, \pm 2, \pm 13, \pm 4, \pm 6.5$

Étape 8.3.3

Remplacez $- 4$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 4$ est une racine du polynôme.

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Étape 8.3.3.1

Remplacez $- 4$ dans le polynôme.

$2 {(- 4)}^{4} + 115 \cdot - 4 - 52$

Étape 8.3.3.2

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$2 \cdot 256 + 115 \cdot - 4 - 52$

Étape 8.3.3.3

Multipliez $2$ par $256$ .

$512 + 115 \cdot - 4 - 52$

Étape 8.3.3.4

Multipliez $115$ par $- 4$ .

$512 - 460 - 52$

Étape 8.3.3.5

Soustrayez $460$ de $512$ .

$52 - 52$

Étape 8.3.3.6

Soustrayez $52$ de $52$ .

$0$

Étape 8.3.4

Comme $- 4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{4} + 115 x - 52}{x + 4}$

Étape 8.3.5

Divisez $2 x^{4} + 115 x - 52$ par $x + 4$ .

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Étape 8.3.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Étape 8.3.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Étape 8.3.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Étape 8.3.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{4} + 8 x^{3}$

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Étape 8.3.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Étape 8.3.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 8.3.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 8.3.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Étape 8.3.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x^{3} - 32 x^{2}$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Étape 8.3.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Étape 8.3.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Étape 8.3.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $32 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Étape 8.3.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

Étape 8.3.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $32 x^{2} + 128 x$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

Étape 8.3.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

Étape 8.3.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Étape 8.3.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 13 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Étape 8.3.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

Étape 8.3.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 13 x - 52$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

Étape 8.3.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

$0$

Étape 8.3.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13$

Étape 8.3.6

Écrivez $2 x^{4} + 115 x - 52$ comme un ensemble de facteurs.

$- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Étape 8.4

Factorisez $x + 4$ à partir de $- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $- 5 x^{2} (x + 4)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Étape 8.4.2

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2} + 2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Étape 8.5

Soustrayez $8 x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$(x + 4) (2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Étape 8.6

Factorisez.

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Étape 8.6.1

Factorisez $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 8.6.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 8.6.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 13, \pm 6.5$

Étape 8.6.1.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 8.6.1.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Étape 8.6.1.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Étape 8.6.1.3.3

Multipliez $2$ par $0.125$ .

$0.25 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Étape 8.6.1.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$0.25 - 13 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Étape 8.6.1.3.5

Multipliez $- 13$ par $0.25$ .

$0.25 - 3.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Étape 8.6.1.3.6

Soustrayez $3.25$ de $0.25$ .

$- 3 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Étape 8.6.1.3.7

Multipliez $32$ par $0.5$ .

$- 3 + 16 - 13$

Étape 8.6.1.3.8

Additionnez $- 3$ et $16$ .

$13 - 13$

Étape 8.6.1.3.9

Soustrayez $13$ de $13$ .

$0$

Étape 8.6.1.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13}{2 x - 1}$

Étape 8.6.1.5

Divisez $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ par $2 x - 1$ .

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Étape 8.6.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$32 x$

$13$

Étape 8.6.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$

Étape 8.6.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 8.6.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 8.6.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Étape 8.6.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Étape 8.6.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 12 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Étape 8.6.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 8.6.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 12 x^{2} + 6 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 8.6.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$

Étape 8.6.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Étape 8.6.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $26 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Étape 8.6.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							+	$26 x$	-	$13$

Étape 8.6.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $26 x - 13$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$

Étape 8.6.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$
										$0$

Étape 8.6.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 6 x + 13$

Étape 8.6.1.6

Écrivez $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 4) ((2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13)) = 0$

Étape 8.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Étape 10

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 11

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 12

Définissez $x^{2} - 6 x + 13$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x^{2} - 6 x + 13$ égal à $0$ .

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x^{2} - 6 x + 13 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 12.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = 13$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3

Simplifiez

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Étape 12.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.3.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Étape 12.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3.1.3

Soustrayez $52$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Étape 12.2.3.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Étape 12.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$ vraie.

$x = - 4, \frac{1}{2}, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Étape 14