Pré-calcul Exemples

$x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 65$

Step 1

Définissez $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 65$ égal à $0$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 65 = 0$

Step 2

Résolvez $x$ .

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Factorisez $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 65$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13 q = \pm 1$

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13$

Remplacez $5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $5$ est une racine du polynôme.

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Remplacez $5$ dans le polynôme.

$5^{3} - 9 \cdot 5^{2} + 33 \cdot 5 - 65$

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$125 - 9 \cdot 5^{2} + 33 \cdot 5 - 65$

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$125 - 9 \cdot 25 + 33 \cdot 5 - 65$

Multipliez $- 9$ par $25$ .

$125 - 225 + 33 \cdot 5 - 65$

Soustrayez $225$ de $125$ .

$- 100 + 33 \cdot 5 - 65$

Multipliez $33$ par $5$ .

$- 100 + 165 - 65$

Additionnez $- 100$ et $165$ .

$65 - 65$

Soustrayez $65$ de $65$ .

$0$

Comme $5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 65}{x - 5}$

Divisez $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 65$ par $x - 5$ .

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Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$65$

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$65$

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$65$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$33 x$

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$33 x$

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} + 20 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$65$

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $13 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$65$

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							+	$13 x$	-	$65$

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $13 x - 65$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							-	$13 x$	+	$65$

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							-	$13 x$	+	$65$
										$0$

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 4 x + 13$

Écrivez $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 65$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 5) (x^{2} - 4 x + 13) = 0$

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} - 4 x + 13 = 0$

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Définissez $x^{2} - 4 x + 13$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x^{2} - 4 x + 13$ égal à $0$ .

$x^{2} - 4 x + 13 = 0$

Résolvez $x^{2} - 4 x + 13 = 0$ pour $x$ .

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Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = 13$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Simplifiez

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Simplifiez le numérateur.

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Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2 \cdot 1}$

Soustrayez $52$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $- 36$ comme $- 1 (36)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $\sqrt{- 1 (36)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 6 i}{2}$

Simplifiez $\frac{4 \pm 6 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 3 i$

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + 3 i, 2 - 3 i$

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x^{2} - 4 x + 13) = 0$ vraie.

$x = 5, 2 + 3 i, 2 - 3 i$

Step 3