Pré-calcul Exemples

${(x - 8)}^{2} = - 12 (y - 8)$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 12 (y - 8) = {(x - 8)}^{2}$ .

$- 12 (y - 8) = {(x - 8)}^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- 12 (y - 8) = {(x - 8)}^{2}$ par $- 12$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 12 (y - 8) = {(x - 8)}^{2}$ par $- 12$ .

$\frac{- 12 (y - 8)}{- 12} = \frac{{(x - 8)}^{2}}{- 12}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 12$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12 (y - 8)}{- 12} = \frac{{(x - 8)}^{2}}{- 12}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $y - 8$ par $1$ .

$y - 8 = \frac{{(x - 8)}^{2}}{- 12}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 8 = - \frac{{(x - 8)}^{2}}{12}$

Étape 1.1.3

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{{(x - 8)}^{2}}{12} + 8$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x - 8)}^{2} + 8$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{1}{12} \cdot {(x - 8)}^{2} + 8$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x - 8)}^{2}$ comme $(x - 8) (x - 8)$ .

$- \frac{1}{12} \cdot ((x - 8) (x - 8)) + 8$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x - 8) (x - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} \cdot (x (x - 8) - 8 (x - 8)) + 8$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)) + 8$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8) + 8$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8) + 8$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8) + 8$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 8 x - 8 x + 64) + 8$

Étape 1.2.1.1.3.2

Soustrayez $8 x$ de $- 8 x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 16 x + 64) + 8$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} x^{2} - \frac{1}{12} (- 16 x) - \frac{1}{12} \cdot 64 + 8$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{1}{12} (- 16 x) - \frac{1}{12} \cdot 64 + 8$

Étape 1.2.1.1.5.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.1.1.5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{12}$ dans le numérateur.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{12} (- 16 x) - \frac{1}{12} \cdot 64 + 8$

Étape 1.2.1.1.5.2.2

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{4 (3)} (- 16 x) - \frac{1}{12} \cdot 64 + 8$

Étape 1.2.1.1.5.2.3

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{4 (3)} (4 (- 4 x)) - \frac{1}{12} \cdot 64 + 8$

Étape 1.2.1.1.5.2.4

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{4 \cdot 3} (4 (- 4 x)) - \frac{1}{12} \cdot 64 + 8$

Étape 1.2.1.1.5.2.5

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{3} (- 4 x) - \frac{1}{12} \cdot 64 + 8$

Étape 1.2.1.1.5.3

Associez $- 4$ et $\frac{- 1}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 4 \cdot - 1}{3} x - \frac{1}{12} \cdot 64 + 8$

Étape 1.2.1.1.5.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{4}{3} x - \frac{1}{12} \cdot 64 + 8$

Étape 1.2.1.1.5.5

Associez $\frac{4}{3}$ et $x$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{3} - \frac{1}{12} \cdot 64 + 8$

Étape 1.2.1.1.5.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.1.1.5.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{12}$ dans le numérateur.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{3} + \frac{- 1}{12} \cdot 64 + 8$

Étape 1.2.1.1.5.6.2

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{3} + \frac{- 1}{4 (3)} \cdot 64 + 8$

Étape 1.2.1.1.5.6.3

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{3} + \frac{- 1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 16) + 8$

Étape 1.2.1.1.5.6.4

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{3} + \frac{- 1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 16) + 8$

Étape 1.2.1.1.5.6.5

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot 16 + 8$

Étape 1.2.1.1.5.7

Associez $\frac{- 1}{3}$ et $16$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 16}{3} + 8$

Étape 1.2.1.1.5.8

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{3} + \frac{- 16}{3} + 8$

Étape 1.2.1.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{3} - \frac{16}{3} + 8$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{3} - \frac{16}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.2.1.3

Associez $8$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{3} - \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{3} + \frac{- 16 + 8 \cdot 3}{3}$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{3} + \frac{- 16 + 24}{3}$

Étape 1.2.1.5.2

Additionnez $- 16$ et $24$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$b = \frac{4}{3}$

$c = \frac{8}{3}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{4}{3}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{12}}$

Étape 1.2.4.2.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{- \frac{1}{12}}$ .

$d = \frac{2}{3 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = \frac{2}{- 3 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.5

Associez $- 3$ et $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{2}{\frac{- 3}{12}}$

Étape 1.2.4.2.6

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $12$ .

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Étape 1.2.4.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$d = \frac{2}{\frac{3 (- 1)}{12}}$

Étape 1.2.4.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$d = \frac{2}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 4}}$

Étape 1.2.4.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 4}}$

Étape 1.2.4.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{\frac{- 1}{4}}$

Étape 1.2.4.2.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 2 (\frac{4}{- 1})$

Étape 1.2.4.2.8

Divisez $4$ par $- 1$ .

$d = 2 \cdot - 4$

Étape 1.2.4.2.9

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$d = - 8$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{8}{3} - \frac{{(\frac{4}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$e = \frac{8}{3} - \frac{\frac{4^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{8}{3} - \frac{\frac{16}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{8}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = \frac{8}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{8}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{\frac{- 4}{12}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $12$ .

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Étape 1.2.5.2.1.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$e = \frac{8}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$e = \frac{8}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{8}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{8}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{\frac{- 1}{3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = \frac{8}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{- \frac{1}{3}}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{8}{3} - (\frac{16}{9} (- 1 \cdot 3))$

Étape 1.2.5.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.5.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$e = \frac{8}{3} - (\frac{16}{3 (3)} (- 1 \cdot 3))$

Étape 1.2.5.2.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 1 \cdot 3$ .

$e = \frac{8}{3} - (\frac{16}{3 (3)} (3 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{8}{3} - (\frac{16}{3 \cdot 3} (3 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{8}{3} - (\frac{16}{3} \cdot - 1)$

Étape 1.2.5.2.1.6

Associez $\frac{16}{3}$ et $- 1$ .

$e = \frac{8}{3} - \frac{16 \cdot - 1}{3}$

Étape 1.2.5.2.1.7

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$e = \frac{8}{3} - \frac{- 16}{3}$

Étape 1.2.5.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = \frac{8}{3} - - \frac{16}{3}$

Étape 1.2.5.2.1.9

Multipliez $- - \frac{16}{3}$ .

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Étape 1.2.5.2.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = \frac{8}{3} + 1 (\frac{16}{3})$

Étape 1.2.5.2.1.9.2

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $1$ .

$e = \frac{8}{3} + \frac{16}{3}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{8 + 16}{3}$

Étape 1.2.5.2.3

Additionnez $8$ et $16$ .

$e = \frac{24}{3}$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $24$ par $3$ .

$e = 8$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{12} {(x - 8)}^{2} + 8$ .

$- \frac{1}{12} {(x - 8)}^{2} + 8$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x - 8)}^{2} + 8$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$h = 8$

$k = 8$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(8, 8)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Étape 5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{12}}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Étape 5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 \cdot 3)$

Étape 5.3.5

Multipliez $- (1 \cdot 3)$ .

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Étape 5.3.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Étape 5.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(8, 5)$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 8$

Étape 8