Pré-calcul Exemples

$\cos (\arccos (x) + \arcsin (x))$

Étape 1

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$x \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Étape 2.1.2

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (x)$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Ainsi, $\cos (\arcsin (x))$ est $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x \sqrt{1 - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Étape 2.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x \sqrt{1^{2} - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Étape 2.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Étape 2.1.5

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (x)$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Ainsi, $\sin (\arccos (x))$ est $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

Étape 2.1.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

Étape 2.1.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arcsin (x))$

Étape 2.1.8

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ .

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Étape 2.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ et $- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 2.2.2

Soustrayez $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ de $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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