Pré-calcul Exemples

$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{1}{4}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{1}{4}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = 1$ et $r = \frac{1}{4}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Étape 4

Multipliez ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ par $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Étape 5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Étape 6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$a_{n} = \frac{1}{4^{n - 1}}$

Étape 7

Cette formule permet de déterminer la somme des $n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de $r$ et $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 8

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer $S_{4}$ .

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Étape 9

Multipliez $\frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$ par $1$ .

$S_{4} = \frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Étape 10

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $4$ .

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$S_{4} = \frac{4}{4} \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Étape 10.2

Associez.

$S_{4} = \frac{4 ({(\frac{1}{4})}^{4} - 1)}{4 (\frac{1}{4} - 1)}$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$S_{4} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{4} + 4 \cdot - 1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 \cdot - 1}$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{4} + 4 \cdot - 1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 \cdot - 1}$

Étape 12.2

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{4} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$S_{4} = \frac{4 (\frac{1^{4}}{4^{4}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{4}$ .

$S_{4} = \frac{4 (\frac{1^{4}}{4 \cdot 4^{3}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Étape 13.2.2

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = \frac{4 (\frac{1^{4}}{4 \cdot 4^{3}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Étape 13.2.3

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = \frac{\frac{1^{4}}{4^{3}} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Étape 13.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$S_{4} = \frac{\frac{1}{4^{3}} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Étape 13.4

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{64} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Étape 13.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{64} - 4}{1 + 4 \cdot - 1}$

Étape 13.6

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{64}{64}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{64} - 4 \cdot \frac{64}{64}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Étape 13.7

Associez $- 4$ et $\frac{64}{64}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{64} + \frac{- 4 \cdot 64}{64}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Étape 13.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 4 \cdot 64}{64}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Étape 13.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.9.1

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 256}{64}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Étape 13.9.2

Soustrayez $256$ de $1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{- 255}{64}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Étape 13.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{4} = \frac{- \frac{255}{64}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Étape 14

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{255}{64}}{1 - 4}$

Étape 14.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{255}{64}}{- 3}$

Étape 15

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{4} = - \frac{255}{64} \cdot \frac{1}{- 3}$

Étape 16

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 16.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{255}{64}$ dans le numérateur.

$S_{4} = \frac{- 255}{64} \cdot \frac{1}{- 3}$

Étape 16.2

Factorisez $3$ à partir de $- 255$ .

$S_{4} = \frac{3 (- 85)}{64} \cdot \frac{1}{- 3}$

Étape 16.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$S_{4} = \frac{3 \cdot - 85}{64} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Étape 16.4

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = \frac{3 \cdot - 85}{64} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Étape 16.5

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = \frac{- 85}{64} \cdot \frac{1}{- 1}$

Étape 17

Multipliez $\frac{- 85}{64}$ par $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{4} = \frac{- 85}{64 \cdot - 1}$

Étape 18

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- 85}{- 64}$

Étape 19

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$S_{4} = \frac{85}{64}$