Pré-calcul Exemples

$\ln (3 y + 5) - \ln (y - 1) = \ln (- 4 y + 10)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3 y + 5}{y - 1}) = \ln (- 4 y + 10)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y - 1, 1, 1$

Étape 3.1.2

Supprimez les parenthèses.

$y - 1, 1, 1$

Étape 3.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y - 1$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ par $y - 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ par $y - 1$ .

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 y + 5 = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y + 5 = - 4 y \cdot y - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Étape 3.2.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$3 y + 5 = - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Étape 3.2.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Étape 3.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 (y - 1)$

Étape 3.2.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y + 10 \cdot - 1$

Étape 3.2.3.1.5

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y - 10$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $4 y$ et $10 y$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 14 y - 10$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 = 3 y + 5$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 - 3 y = 5$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $3 y$ de $14 y$ .

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 = 5$

Étape 3.3.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 - 5 = 0$

Étape 3.3.3.2

Soustrayez $5$ de $- 10$ .

$- 4 y^{2} + 11 y - 15 = 0$

Étape 3.3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3.5

Remplacez les valeurs $a = - 4$ , $b = 11$ et $c = - 15$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot - 15)}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.3.6

Simplifiez

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Étape 3.3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.6.1.1

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 4 \cdot - 15$ .

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Étape 3.3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 16 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.3.6.1.2.2

Multipliez $16$ par $- 15$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 240}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.3.6.1.3

Soustrayez $240$ de $121$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.3.6.1.4

Réécrivez $- 119$ comme $- 1 (119)$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.3.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (119)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.3.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$

Étape 3.3.6.3

Simplifiez $\frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$ .

$y = \frac{11 \pm i \sqrt{119}}{8}$

Étape 3.3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{11 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{11 - i \sqrt{119}}{8}$