Pré-calcul Exemples

$5.2 = 1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) + 4.3$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) + 4.3 = 5.2$ .

$1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) + 4.3 = 5.2$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $4.3$ des deux côtés de l’équation.

$1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) = 5.2 - 4.3$

Étape 2.2

Soustrayez $4.3$ de $5.2$ .

$1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) = 0.9$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) = 0.9$ par $1.5$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t) = 0.9$ par $1.5$ .

$\frac{1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t)}{1.5} = \frac{0.9}{1.5}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $1.5$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1.5 \cos (\frac{2 π}{365} t)}{1.5} = \frac{0.9}{1.5}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ par $1$ .

$\cos (\frac{2 π}{365} t) = \frac{0.9}{1.5}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Divisez $0.9$ par $1.5$ .

$\cos (\frac{2 π}{365} t) = 0.6$

Étape 4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{2 π}{365} t = \arccos (0.6)$

Étape 5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1

Associez $\frac{2 π}{365}$ et $t$ .

$\frac{2 π t}{365} = \arccos (0.6)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

Évaluez $\arccos (0.6)$ .

$\frac{2 π t}{365} = 0.92729521$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$

Étape 8

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.1.1

Simplifiez $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365}$ .

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Étape 8.1.1.1

Annulez le facteur commun de $365$ .

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Étape 8.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$

Étape 8.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$

Étape 8.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2 π$ .

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Étape 8.1.1.2.1

Factorisez $2 π$ à partir de $2 π t$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$

Étape 8.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$

Étape 8.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = \frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

Simplifiez $\frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$ .

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $\frac{365}{2 π} \cdot 0.92729521$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Associez $\frac{365}{2 π}$ et $0.92729521$ .

$t = \frac{365 \cdot 0.92729521}{2 π}$

Étape 8.2.1.1.2

Multipliez $365$ par $0.92729521$ .

$t = \frac{338.46275457}{2 π}$

Étape 8.2.1.2

Remplacez $π$ par une approximation.

$t = \frac{338.46275457}{2 \cdot 3.14159265}$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$t = \frac{338.46275457}{6.2831853}$

Étape 8.2.1.4

Divisez $338.46275457$ par $6.2831853$ .

$t = 53.86802044$

Étape 9

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{2 π t}{365} = 2 (3.14159265) - 0.92729521$

Étape 10

Résolvez $t$ .

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Étape 10.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 0.92729521)$

Étape 10.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 10.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1.1

Simplifiez $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365}$ .

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Étape 10.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $365$ .

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Étape 10.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{365} = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 0.92729521)$

Étape 10.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 0.92729521)$

Étape 10.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2 π$ .

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Étape 10.2.1.1.2.1

Factorisez $2 π$ à partir de $2 π t$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 0.92729521)$

Étape 10.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 0.92729521)$

Étape 10.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = \frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 0.92729521)$

Étape 10.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez $\frac{365}{2 π} (2 (3.14159265) - 0.92729521)$ .

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Étape 10.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$t = \frac{365}{2 π} (6.2831853 - 0.92729521)$

Étape 10.2.2.1.2

Soustrayez $0.92729521$ de $6.2831853$ .

$t = \frac{365}{2 π} \cdot 5.35589008$

Étape 10.2.2.1.3

Multipliez $\frac{365}{2 π} \cdot 5.35589008$ .

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Étape 10.2.2.1.3.1

Associez $\frac{365}{2 π}$ et $5.35589008$ .

$t = \frac{365 \cdot 5.35589008}{2 π}$

Étape 10.2.2.1.3.2

Multipliez $365$ par $5.35589008$ .

$t = \frac{1954.89988254}{2 π}$

Étape 10.2.2.1.4

Remplacez $π$ par une approximation.

$t = \frac{1954.89988254}{2 \cdot 3.14159265}$

Étape 10.2.2.1.5

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$t = \frac{1954.89988254}{6.2831853}$

Étape 10.2.2.1.6

Divisez $1954.89988254$ par $6.2831853$ .

$t = 311.13197955$

Étape 11

Déterminez la période de $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ .

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Étape 11.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.2

Remplacez $b$ par $\frac{2 π}{365}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{365} |}$

Étape 11.3

$\frac{2 π}{365}$ est d’environ $0.0172142$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{365}}$

Étape 11.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Étape 11.5

Annulez le facteur commun de $2 π$ .

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Étape 11.5.1

Annulez le facteur commun.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Étape 11.5.2

Réécrivez l’expression.

$365$

Étape 12

La période de la fonction $\cos (\frac{2 π}{365} t)$ est $365$ si bien que les valeurs se répètent tous les $365$ radians dans les deux sens.

$t = 53.86802044 + 365 n, 311.13197955 + 365 n$ , pour tout entier $n$