Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{20 x^{2} + 28 x - 3}{- 10 x + 1}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{20 x^{2} + 28 x - 3}{- 10 x + 1}$ est indéfinie.

$x = \frac{1}{10}$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 20 \cdot - 3 = - 60$ et dont la somme est $b = 28$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Factorisez $28$ à partir de $28 x$ .

$\frac{20 x^{2} + 28 (x) - 3}{- 10 x + 1}$

Étape 6.1.1.1.2

Réécrivez $28$ comme $- 2$ plus $30$

$\frac{20 x^{2} + (- 2 + 30) x - 3}{- 10 x + 1}$

Étape 6.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{20 x^{2} - 2 x + 30 x - 3}{- 10 x + 1}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(20 x^{2} - 2 x) + 30 x - 3}{- 10 x + 1}$

Étape 6.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x (10 x - 1) + 3 (10 x - 1)}{- 10 x + 1}$

Étape 6.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $10 x - 1$ .

$\frac{(10 x - 1) (2 x + 3)}{- 10 x + 1}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun à $10 x - 1$ et $- 10 x + 1$ .

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $10 x$ .

$\frac{(- (- 10 x) - 1) (2 x + 3)}{- 10 x + 1}$

Étape 6.1.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (- 10 x) - 1 (1)) (2 x + 3)}{- 10 x + 1}$

Étape 6.1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 10 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (- 10 x + 1) (2 x + 3)}{- 10 x + 1}$

Étape 6.1.2.4

Réécrivez $- (- 10 x + 1)$ comme $- 1 (- 10 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (- 10 x + 1) (2 x + 3)}{- 10 x + 1}$

Étape 6.1.2.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- 10 x + 1) (2 x + 3)}{- 10 x + 1}$

Étape 6.1.2.6

Divisez $- 1 (2 x + 3)$ par $1$ .

$- 1 (2 x + 3)$

Étape 6.1.3

Réécrivez $- 1 (2 x + 3)$ comme $- (2 x + 3)$ .

$- (2 x + 3)$

Étape 6.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 x) - 1 \cdot 3$

Étape 6.1.5

Multipliez.

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Étape 6.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x - 1 \cdot 3$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 2 x - 3$

Étape 6.2

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = - 2 x - 3$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = - 2 x - 3$

Étape 8