Pré-calcul Exemples

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 10 x - 18 y - 1 = 0$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 10 x - 18 y = 1$

Étape 2

Divisez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 5 x - 9 y = \frac{1}{2}$

Étape 3

Complétez le carré pour $x^{2} - 5 x$ .

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{5}{2}$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $\frac{25}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Étape 4

Remplacez $x^{2} - 5 x$ par ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 5 x - 9 y = \frac{1}{2}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - 9 y = \frac{1}{2}$

Étape 5

Déplacez $- \frac{25}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{25}{4}$ des deux côtés.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - 9 y = \frac{1}{2} + \frac{25}{4}$

Étape 6

Complétez le carré pour $y^{2} - 9 y$ .

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Étape 6.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 9$

$c = 0$

Étape 6.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 9}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{- 9}{2}$

Étape 6.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{9}{2}$

Étape 6.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 9)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{81}{4}$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $\frac{81}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{81}{4}$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ .

${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$

Étape 7

Remplacez $y^{2} - 9 y$ par ${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 5 x - 9 y = \frac{1}{2}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4} = \frac{1}{2} + \frac{25}{4}$

Étape 8

Déplacez $- \frac{81}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{81}{4}$ des deux côtés.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{25}{4} + \frac{81}{4}$

Étape 9

Simplifiez $\frac{1}{2} + \frac{25}{4} + \frac{81}{4}$ .

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Étape 9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{25 + 81}{4}$

Étape 9.2

Additionnez $25$ et $81$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{106}{4}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à $106$ et $4$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $2$ à partir de $106$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 (53)}{4}$

Étape 9.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 53}{2 \cdot 2}$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 53}{2 \cdot 2}$

Étape 9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{53}{2}$

Étape 9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1 + 53}{2}$

Étape 9.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.5.1

Additionnez $1$ et $53$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{54}{2}$

Étape 9.5.2

Divisez $54$ par $2$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 27$