Pré-calcul Exemples

$x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$

Étape 1

Complétez le carré pour $x^{2} - \frac{1}{2} x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{2}$

Étape 1.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = 0$

Étape 1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $1$ .

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Étape 1.4.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Étape 1.4.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.4.2.3

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$d = - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$d = - \frac{1}{4}$

Étape 1.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.1.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = 0 - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.1.1.6

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Étape 1.5.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 1.5.2.1.4

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.5.2.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Étape 1.5.2.1.4.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{16}$

Étape 1.5.2.2

Soustrayez $\frac{1}{16}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{16}$

Étape 1.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

Étape 2

Remplacez $x^{2} - \frac{1}{2} x$ par ${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + y^{2} + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$

Étape 3

Déplacez $- \frac{1}{16}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{16}$ des deux côtés.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Étape 4

Complétez le carré pour $y^{2} + \frac{1}{2} y$ .

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y$ .

$y^{2} + \frac{y}{2}$

Étape 4.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 0$

Étape 4.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.4.2.3

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.4.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Étape 4.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = 0 - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Étape 4.5.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 4.5.2.1.4

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Étape 4.5.2.1.4.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{16}$

Étape 4.5.2.2

Soustrayez $\frac{1}{16}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{16}$

Étape 4.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ .

${(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

Étape 5

Remplacez $y^{2} + \frac{1}{2} y$ par ${(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Étape 6

Déplacez $- \frac{1}{16}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{16}$ des deux côtés.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}$

Étape 7

Simplifiez $\frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}$ .

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1 + 1}{16}$

Étape 7.2

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2}{16}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2 (1)}{16}$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1 + 1}{8}$

Étape 7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2}{8}$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 (1)}{8}$

Étape 7.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Étape 7.6.2.2

Annulez le facteur commun.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Étape 7.6.2.3

Réécrivez l’expression.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{4}$