Pré-calcul Exemples

${(a - \sqrt{2})}^{8}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

$1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$

$1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(a - \sqrt{2})}^{8}$ , $n = 8$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $9$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1$ .

$1 a^{8} b^{0} + 8 a^{7} b + 28 a^{6} b^{2} + 56 a^{5} b^{3} + 70 a^{4} b^{4} + 56 a^{3} b^{5} + 28 a^{2} b^{6} + 8 a b^{7} + 1 a^{0} b^{8}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $a$ et $b$ $- 1.41421356$ dans l’expression.

$1 {(a)}^{8} {(- 1.41421356)}^{0} + 8 {(a)}^{7} {(- 1.41421356)}^{1} + 28 {(a)}^{6} {(- 1.41421356)}^{2} + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(a)}^{8}$ par $1$ .

${(a)}^{8} {(- 1.41421356)}^{0} + 8 {(a)}^{7} {(- 1.41421356)}^{1} + 28 {(a)}^{6} {(- 1.41421356)}^{2} + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{8} \cdot 1 + 8 {(a)}^{7} {(- 1.41421356)}^{1} + 28 {(a)}^{6} {(- 1.41421356)}^{2} + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.3

Multipliez $a^{8}$ par $1$ .

$a^{8} + 8 {(a)}^{7} {(- 1.41421356)}^{1} + 28 {(a)}^{6} {(- 1.41421356)}^{2} + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.4

Évaluez l’exposant.

$a^{8} + 8 a^{7} \cdot - 1.41421356 + 28 {(a)}^{6} {(- 1.41421356)}^{2} + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.5

Multipliez $- 1.41421356$ par $8$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 28 {(a)}^{6} {(- 1.41421356)}^{2} + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.6

Élevez $- 1.41421356$ à la puissance $2$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 28 a^{6} \cdot 2 + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.7

Multipliez $2$ par $28$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} + 56 {(a)}^{5} {(- 1.41421356)}^{3} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.8

Élevez $- 1.41421356$ à la puissance $3$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} + 56 a^{5} \cdot - 2.82842712 + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.9

Multipliez $- 2.82842712$ par $56$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 70 {(a)}^{4} {(- 1.41421356)}^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.10

Élevez $- 1.41421356$ à la puissance $4$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 70 a^{4} \cdot 4 + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.11

Multipliez $4$ par $70$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} + 56 {(a)}^{3} {(- 1.41421356)}^{5} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.12

Élevez $- 1.41421356$ à la puissance $5$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} + 56 a^{3} \cdot - 5.65685424 + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.13

Multipliez $- 5.65685424$ par $56$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 28 {(a)}^{2} {(- 1.41421356)}^{6} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.14

Élevez $- 1.41421356$ à la puissance $6$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 28 a^{2} \cdot 8 + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.15

Multipliez $8$ par $28$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} + 8 {(a)}^{1} {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.16

Simplifiez

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} + 8 a {(- 1.41421356)}^{7} + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.17

Élevez $- 1.41421356$ à la puissance $7$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} + 8 a \cdot - 11.31370849 + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.18

Multipliez $- 11.31370849$ par $8$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} - 90.50966799 a + 1 {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.19

Multipliez ${(a)}^{0}$ par $1$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} - 90.50966799 a + {(a)}^{0} {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.20

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} - 90.50966799 a + 1 {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.21

Multipliez ${(- 1.41421356)}^{8}$ par $1$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} - 90.50966799 a + {(- 1.41421356)}^{8}$

Étape 4.22

Élevez $- 1.41421356$ à la puissance $8$ .

$a^{8} - 11.31370849 a^{7} + 56 a^{6} - 158.39191898 a^{5} + 280 a^{4} - 316.78383797 a^{3} + 224 a^{2} - 90.50966799 a + 16$