Pré-calcul Exemples

$\frac{x - 4}{x + 11} \geq \frac{1}{x - 1}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{1}{x - 1}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{x - 4}{x + 11}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 11) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{x - 4}{x + 11}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{x - 1}$ par $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x - 1) (x + 11)} \geq 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 11)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 4) (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Développez $(x - 4) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 1) - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Étape 2.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Étape 2.5.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Étape 2.5.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Étape 2.5.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 1 \cdot 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Étape 2.5.5

Soustrayez $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 4 - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Étape 2.5.6

Soustrayez $11$ de $4$ .

$\frac{x^{2} - 6 x - 7}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Étape 2.5.7

Factorisez $x^{2} - 6 x - 7$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.5.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 7$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 7, 1$

Étape 2.5.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 4

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 11$

Étape 7

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 7$

$x = - 1$

$x = - 11$

$x = 1$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 7, - 1, - 11, 1$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 11) (x - 1) = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 10.2.2

Définissez $x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.2.1

Définissez $x + 11$ égal à $0$ .

$x + 11 = 0$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 11$

Étape 10.2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 10.2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 10.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 11) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 11, 1$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 11) \cup (- 11, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 11$

$- 11 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 11$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 11$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 14$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 14$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 14) - 4}{(- 14) + 11} \geq \frac{1}{(- 14) - 1}$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $6$ est supérieur au côté droit $- 0.0\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 11 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 11 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 6) - 4}{(- 6) + 11} \geq \frac{1}{(- 6) - 1}$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $- 0.\overline{142857}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) - 4}{(0) + 11} \geq \frac{1}{(0) - 1}$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 0.\overline{36}$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(4) - 4}{(4) + 11} \geq \frac{1}{(4) - 1}$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $0.\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 12.5.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(10) - 4}{(10) + 11} \geq \frac{1}{(10) - 1}$

Étape 12.5.3

Le côté gauche $0.\overline{285714}$ est supérieur au côté droit $0.\overline{1}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 11$ Vrai

$- 11 < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 7$ Faux

$x > 7$ Vrai

$x < - 11$ Vrai

$- 11 < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 7$ Faux

$x > 7$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 11$ ou $- 1 \leq x < 1$ ou $x \geq 7$

Étape 14

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 11) \cup [- 1, 1) \cup [7, \infty)$

Étape 15