Pré-calcul Exemples

$2 x^{3} - 50 x < x^{2} - 25$

Étape 1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 x^{3} - 50 x - x^{2} < - 25$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{3} - 50 x - x^{2} = - 25$

Étape 3

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} - 50 x - x^{2} + 25 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{3} - x^{2} - 50 x + 25 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{3} - x^{2}) - 50 x + 25 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (2 x - 1) - 25 (2 x - 1) = 0$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 25) = 0$

Étape 4.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Étape 4.5

Factorisez.

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Étape 4.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$(2 x - 1) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Étape 4.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x - 1) (x + 5) (x - 5) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 6

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 7

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 8

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (x + 5) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, - 5, 5$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 5$

$x > 5$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 8)}^{3} - 50 \cdot - 8 < {(- 8)}^{2} - 25$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 624$ est inférieur au côté droit $39$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(0)}^{3} - 50 \cdot 0 < {(0)}^{2} - 25$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $0$ n’est pas inférieur au côté droit $- 25$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(3)}^{3} - 50 \cdot 3 < {(3)}^{2} - 25$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $- 96$ est inférieur au côté droit $- 16$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(8)}^{3} - 50 \cdot 8 < {(8)}^{2} - 25$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $624$ n’est pas inférieur au côté droit $39$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 5$ ou $\frac{1}{2} < x < 5$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 5) \cup (\frac{1}{2}, 5)$

Étape 14