Pré-calcul Exemples

$2 x^{2} < 13 x + 7$

Étape 1

Soustrayez $13 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 x^{2} - 13 x < 7$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} - 13 x = 7$

Étape 3

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 13 x - 7 = 0$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 7 = - 14$ et dont la somme est $b = - 13$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 13$ à partir de $- 13 x$ .

$2 x^{2} - 13 x - 7 = 0$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 13$ comme $1$ plus $- 14$

$2 x^{2} + (1 - 14) x - 7 = 0$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 1 x - 14 x - 7 = 0$

Étape 4.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x^{2} + x - 14 x - 7 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} + x) - 14 x - 7 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x + 1) - 7 (2 x + 1) = 0$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 7) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 6

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 7

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (x - 7) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, 7$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 7$

$x > 7$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 3)}^{2} < 13 (- 3) + 7$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $18$ n’est pas inférieur au côté droit $- 32$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(0)}^{2} < 13 (0) + 7$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(10)}^{2} < 13 (10) + 7$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $200$ n’est pas inférieur au côté droit $137$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{1}{2}$ Faux

$- \frac{1}{2} < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

$x < - \frac{1}{2}$ Faux

$- \frac{1}{2} < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{1}{2} < x < 7$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \frac{1}{2}, 7)$

Étape 13