Pré-calcul Exemples

$2 x^{3} - 32 x < x^{2} - 16$

Étape 1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 x^{3} - 32 x - x^{2} < - 16$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{3} - 32 x - x^{2} = - 16$

Étape 3

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} - 32 x - x^{2} + 16 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{3} - x^{2} - 32 x + 16 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{3} - x^{2}) - 32 x + 16 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (2 x - 1) - 16 (2 x - 1) = 0$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 16) = 0$

Étape 4.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Étape 4.5

Factorisez.

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Étape 4.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$(2 x - 1) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 4.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 6

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 7

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 8

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, - 4, 4$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 6)}^{3} - 32 \cdot - 6 < {(- 6)}^{2} - 16$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 240$ est inférieur au côté droit $20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(0)}^{3} - 32 \cdot 0 < {(0)}^{2} - 16$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $0$ n’est pas inférieur au côté droit $- 16$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(2)}^{3} - 32 \cdot 2 < {(2)}^{2} - 16$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $- 48$ est inférieur au côté droit $- 12$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(6)}^{3} - 32 \cdot 6 < {(6)}^{2} - 16$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $240$ n’est pas inférieur au côté droit $20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 4$ ou $\frac{1}{2} < x < 4$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 4) \cup (\frac{1}{2}, 4)$

Étape 14