Pré-calcul Exemples

$9 x^{2} + 25 y^{2} - 90 x + 150 y + 225 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $225$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} + 25 y^{2} - 90 x + 150 y = - 225$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $9 x^{2} - 90 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 90$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 90$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 45}{9}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 45$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 45$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 5}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 5$ par $1$ .

$d = - 5$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 90$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $8100$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $225$ .

$e = 0 - 225$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $225$ de $0$ .

$e = - 225$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(x - 5)}^{2} - 225$ .

$9 {(x - 5)}^{2} - 225$

Étape 1.3

Remplacez $9 x^{2} - 90 x$ par $9 {(x - 5)}^{2} - 225$ dans l’équation $9 x^{2} + 25 y^{2} - 90 x + 150 y = - 225$ .

$9 {(x - 5)}^{2} - 225 + 25 y^{2} + 150 y = - 225$

Étape 1.4

Déplacez $- 225$ du côté droit de l’équation en ajoutant $225$ des deux côtés.

$9 {(x - 5)}^{2} + 25 y^{2} + 150 y = - 225 + 225$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $25 y^{2} + 150 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 25$

$b = 150$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{150}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $150$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $150$ .

$d = \frac{2 \cdot 75}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 75}{2 (25)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 75}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{75}{25}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $75$ et $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$d = \frac{25 \cdot 3}{25}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot 3}{25 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{150^{2}}{4 \cdot 25}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $150$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{22500}{4 \cdot 25}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $25$ .

$e = 0 - \frac{22500}{100}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $22500$ par $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $225$ .

$e = 0 - 225$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $225$ de $0$ .

$e = - 225$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $25 {(y + 3)}^{2} - 225$ .

$25 {(y + 3)}^{2} - 225$

Étape 1.6

Remplacez $25 y^{2} + 150 y$ par $25 {(y + 3)}^{2} - 225$ dans l’équation $9 x^{2} + 25 y^{2} - 90 x + 150 y = - 225$ .

$9 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y + 3)}^{2} - 225 = - 225 + 225$

Étape 1.7

Déplacez $- 225$ du côté droit de l’équation en ajoutant $225$ des deux côtés.

$9 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y + 3)}^{2} = - 225 + 225 + 225$

Étape 1.8

Simplifiez $- 225 + 225 + 225$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Additionnez $- 225$ et $225$ .

$9 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y + 3)}^{2} = 0 + 225$

Étape 1.8.2

Additionnez $0$ et $225$ .

$9 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y + 3)}^{2} = 225$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $225$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{9 {(x - 5)}^{2}}{225} + \frac{25 {(y + 3)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 5$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 5$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(5, - 3)$

Étape 5